微積分第一基本定理
如果F’(x) = f(x)，那么：
如果將F用不定積分表示，F =∫f(x)dx，微積分第一基本定理可以看作為是兩個不定積分賦予特定的值，再用符號連接起來，計算具體的數值。
這里引入一個新符號：
於是：
示例1
示例2
示例3
f(x) = sinx，求下圖陰影部分的面積
這實際上是積分的幾何意義。
再看積分的幾何意義
如果s = S(t)是距離關於時間的函數，那瞬時速度就是S’(t) = ds/dt = V(t)，從時間a到時間b所經過的距離是：
dt = 1秒，用黎曼和表示：
V(t)就是汽車儀表盤上的速度， 
就是行駛的里程。
如果行駛一段時間后掉頭，再回到出發點，按照黎曼和表示法將會出現相反的速度，最后的結果是0。這樣看來，
表示的就是位移而不是行駛里程，其里程應當是 
再來看一個例子，曲線是sinx，0 ≤ x ≤ 2π，求曲線和x軸間兩個駝峰的面積。
這肯定不對了，原因是上篇文章提到的概念：“
是y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積”並不完全正確。當曲線在x軸上方是，定積分才是面積；在下方是，面積（積分值）是負的。之前的幾何解釋是不完全的，它掩蓋了某些事實，關於定積分真正的幾何解釋是：定積分是x軸上方的面積減去x軸下方的面積。
定積分的性質
定積分的換元法
變量替換是定積分的另一個性質，這個性質結合了不定積分的換元法（關於換元法的描述：數學筆記11——微分和不定積分）。定積分換元法性質：
這個性質僅在u’在積分限上不變號時才有效，即u’(x)和u(x)在[x1, x2]上必須同號。
示例1
示例2
這是正確答案。如果使用換元法：
答案是錯誤的，其違反了定積分換元法的約束條件，u = x2, u’ = 2x，當x = -1時，u’ = -2，當x = 1時， u' = 2, u’不同號。對於此例，du = 2xdx實際上應該是 dx =± u-1/2du/2
再看第一定理
微積分第一基本定理：如果F’(x) = f(x)
這是定理的標准形式，用F去解釋f。現在換個角度，用f去理解F，可以寫成：
僅僅是反過來寫了一遍，但這種形式對以后的理解至關重要。現在，
等式的右邊可以看作f的均值：
average(f)需要用黎曼和解釋。如果a = 0, b = n，Δx=1，
等式左邊是離散情況下的均值，右邊是連續情況下的均值，如果是計算面積，右邊要更加精確。如果用ΔF = Average(F’) Δx理解第一基本定理，就是F的該變量等於其微小改變的平均值乘以流逝的時間。
中值定理
之前介紹過中值定理：f(x)在[a, b]上連續，f(x)在(a,b)內可導，且 a < c < b，
換成上一節的寫法就是
F’(C)是不確定的，而第一基本定理得到了一個確定的值。可以將中值定理看作第一基本定理的泛化，第一基本定理要比中值定理更“強”。事實上，只要能夠使用第一基本定理，就不去使用中值定理。
既然是中值定理，就一定存在：
第一基本定理與中值定理結合
示例
F’(x) = 1/(1 + x), F(0) = 1, F(4)的取值范圍？
解法一：用中值定理求解
解法二：用微積分求解
綜上，4/5 < F(4) < 5
可以用畫圖法理解微積分求解， 
被積函數是y=1, 
被積函數是y=1/5
如上圖所示，∫dx/(1+x)計算的是 y = 1/(1+x)在[0,4]內與x軸的面積；最大值和最小值是將曲線變成一個矩形，這可以看作是朴素的黎曼和。微積分之所以更加精確，正是因為將曲線分成了更多的矩形。
綜合示例
示例1
第二個式子也可以用上述方法計算，但是可以使用更簡單的方法直接得到答案。
如上圖所示，tanx 在[-π/3, π/3]上是關於原點對稱的，根據定積分的幾何意義，x軸上方的面積減去x軸下方的面積，故可以直接得出答案0。
注：
示例2
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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