單變量微積分筆記24——分部積分

　　不是所有被積函數都能解析地寫出原函數。對於那些可能寫出來的函數，也需要一定的積分技巧才能隨心所欲，分部積分正是其中很重要的一種技巧。

基本公式

　　部分積分演變自積分的乘法法則：

示例1

 

　　看起來很難對付，現在嘗試用部分積分解決。

　　令u = lnx，u’ = (lnx)’ = x’/x = 1/x 

　　令v’ = 1，v = x，u’v = 1

示例2

 

　　解法1：

　　令u = (lnx)²，u’ = 2lnx/x 

　　令v’ = 1，v = x，u’v = 2lnx/x

 

　　解法2：

　　令u = lnx，u’ = (lnx)’ = x’/x = 1/x 

　　v’ = lnx，通過示例1得知，v = xlnx – x

　　u’v = lnx - 1

換算公式

　　換算公式使用遞歸的方式運用部分積分公式，最終得到結果。

 

　　這與前面的示例類似：

　　令u = (lnx)ⁿ，u’ = n(lnx)^n-1/x 

　　令v’ = 1，v = x，u’v = n(lnx)^n-1, uv = x (lnx)ⁿ

 

　　再對后半部分反復使用分部積分，使lnx降次，直到其為0為止。如果用F_n(x)表示(lnx)ⁿ的積分，則：

 

　　根據該公式：

示例1

　　令u = xⁿ，u’ = nx^n-1

　　令v’ = e^x，v = e^x，u’v = nx^n-1e^x, uv = xⁿe^x

示例2

　　有如下圖所示的高腳杯，其側壁的曲線函數是y = e^x，開口寬度為2，手柄高度為1，求高腳杯的容積。

求高腳杯容積

　　首先將其轉換為下圖所示的數學模型，容積就是曲線繞y軸旋轉一周的體積：

　　可以使用圓盤法和殼層法計算體積（可參考數學筆記17——定積分的應用2（體積））。

　　圓盤法：

　　殼層法：

 

綜合示例

示例1

　　令u = x，u’ = 1

　　令v’ = e^-x，v = -e^-x，u’v = -e^-x，uv = -xe^-x

示例2

　　解法1：分部積分

 

　　解法2：部分分式

　　解法3：三角替換，令x = tanθ

 

　　注意到解法1和后兩種方法的結果不同，但由於 和 的導數相同，所以二者是等同的。

　　也可以從另一個角度證明，現在回顧一下解法3：

 

　　如果替換為sinθd的函數，則： 

 

　　所以兩個結果相等。

　　實際上兩個函數是同族的：

 

示例3

 

　　u = arctanx, u’ = 1/(1 + x²), v’ = 1, v = x

　　下面是arctanx的求導過程：

　　y = arctanx, x = tany, 對x = tany兩邊同時對x求導：

　　關於反函數的求導，可參考數學筆記4——導數4（反函數的導數）。

示例4

 

　　u = lnx, u’ = 1/x, v’ = x^-2, v = -1/x。

 

示例5

 

 

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