單變量微積分筆記11——微分和不定積分

　　微分在數學中的定義：由函數B=f(A)，得到A、B兩個數集，在A中當dx靠近自己時，函數在dx處的極限叫作函數在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。積分是微積分學與數學分析里的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的正實值函數，在一個實數區間上的定積分可以理解為在坐標平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實數值）。

微分

什么是微分

　　如果對於函數y=f(x)，存在dy=f’(x)dx，稱dy是y的微分或f(x)的微分。

　　如果換一種寫法：

　　這實際上就是萊布尼茨對於導數的記法，它和導數表達了同一個意思。

　　重新審視導數的含義，其公式：

　　導數表示的是兩個無窮小量的比，dy和dx就是這兩個無窮小量：

　　過去我們把dy和dx叫做Δy和Δx，實際上它們不是一回事，Δx是一個實實在在的數量，dx是一個概念，是Δx→0的函數表達式，可以把dx看作一個符號，就是微分符號。

 

 

用微分求解近似值

　　示例：64.1^1/3≈?

　　設y = x^1/3，當x = 64時，y = 4，x + dx = 64.1，dx = 0.1，代入微分公式：

微分法與線性近似的對比

　　示例也可以用線性近似法求解。設f(x) = x^1/3，x₀ = 64

　　根據線性近似公式：

　

　　兩種方法的結果相同。結合線性近似公式和微分公式：

　 

　　實際上線性近似是微分的一種應用。

示例

　　示例1，d(7x⁹ + 34 – 5u^-3) = ?

 　　根據導數的加法法則，

 　　d(7x⁹ + 34 – 5u^-3) = d(7x⁹) + d(34) – d(5u^-3) = 7×9x⁸dx + 0 – 5×(-3)x^-4dx = 63x⁸dx + 15x⁴dx

  

　　示例2，d(sinθcosθ) = ?

　　根據導數的乘法法則，

　　d(sinθcosθ) = (dsinθ)cosθ + sinθdcosθ = (cos²θ-sin²θ)dθ

 

 　　示例3，

不定積分

什么是不定積分

　　上面的式子就是不定積分表達式，稱作g(x)dx的不定積分，其中G(x)的導數是g(x)，即G(x)是g(x)的反導數。g(x)的反導數又叫做g的不定積分，∫就是積分符號。

 

　　示例1，∫sinxdx

　　求解sinxdx的不定積分，實際上是求解誰的導數是sinx。如果G(x)=-cosx，則G’(x)=sinx，所以∫sinxdx = -cosx + C，其中C是一個常數，之所以叫不定積分，就是因為有了這個常數。∫sinxdx是不定的，因為我們並沒有給出一個確定的函數。

　　示例2，∫x^adx

 

　　示例3，∫dx/x

 

不定積分的唯一性

　　不定積分的唯一性：如果f’(x)=g’(x)，則f(x) = g(x) + c

　　以下給出證明：

　　設F=f(x)，G=g(x)，如果f’(x)=g’(x)，則(F – G)’ = F’ – G’ = 0

　　常數的導數是0，所以F-G是一個常數，即f(x) – g(x) = c => f(x) = g(x) + c，證畢。

　　唯一性也是不定積分成立的基礎。

求解不定積分

　　不定積分的求解遠比求導困難的多，很多時候甚至發現根本無法求解，這里僅記錄兩種最常用的求解方法：換元法和猜測法。

換元法

　　示例1，∫x³(x⁴+2)⁵dx

　　這個不能一眼看出答案了，使用一種稱為換元法的方法求解。

 

猜測法

　　做過大量練習后就可以使用猜測法直接猜測不定積分的結果，這應該成為首先嘗試的求解方法。

　　示例1，

 　　這個例子在換元法中出現過，現在使用猜測法求解。

　　 示例2，∫e^6xdx

　　 示例3 

　　示例4，∫sinxcosxdx

　　猜測sin²x => dsin²x = 2sinxcosxdx => ∫sinxcosxdx = sin²x/2 + C₁

　　∫sinxcosxdx的另一個答案是 -cos²x/2 + C₂

　　如果將兩個答案相減，得到(sin²x+ cos²x)/2 + (C₁ - C₂) = 1/2 + (C₁ - C₂) = C，兩個函數的相減的結果是一個常數，即這兩個函數是同族函數。

綜合示例

　　示例1，d(7x⁹ + 34 – 5u^-3) = ?

　　根據導數的加法法則，

　　d(7x⁹ + 34 – 5u^-3) = d(7x⁹) + d(34) – d(5u^-3) = 7×9x⁸dx + 0 – 5×(-3)x^-4dx = 63x⁸dx + 15x⁴dx

 

　　示例2，d(sinθcosθ) = ?

　　根據導數的乘法法則，

　　d(sinθcosθ) = (dsinθ)cosθ + sinθdcosθ = (cos²θ-sin²θ)dθ

 

　　示例3，

　　 示例4，

　　示例5，∫e^2xcos(1-e^2x)dx

　　使用換元法，令u = (1-e^2x)， du = -2 e^2xdx

　　∫e^2xcos(1-e^2x)dx =∫cos(1-e^2x) e^2xdx =∫u (-1/2)du = -sinu/2 + C = -sin (1-e^2x)/2 + C

　　示例6，∫4x(5x²-1)^1/3dx

　　這個又要靠猜測法了，猜的(5x²-1)^1/3的反導數。

　　d(5x²-1)^4/3 = (4/3) (5x²-1)^1/3(10x)dx = (40/3)x(5x²-1)^1/3dx，與目標很相似

　　∫4x(5x²-1)^1/3dx = (3/10)(5x²-1)^4/3 + C

　　示例7，∫tanxdx

　　∫tanxdx = ∫(sinx/cosx)dx

　　使用換元法，令u = cosx， du = -sinxdx

　　∫(sinx/cosx)dx = ∫-du/u = -ln|u| + C = -ln|cosx| + C

積分表

　　以下是25個基本不定積分公式：

  

 

總結

　　1.微分表達式：dy = f’(x)dx

　　2.不定積分表達式：G(x) = ∫g(x)dx

　　3.不定積分的唯一性：如果f’(x)=g’(x)，則f(x) = g(x) + c

　　4.用換元法和猜測法求解不定積分

 

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　　 出處：微信公眾號 "我是8位的"

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