全微分
《數學筆記11——微分和不定積分》中說明了什么是一元函數的微分，類似地，在多元函數中同樣存在微分的概念，它有一個確切的名字——全微分。
《多變量微積分筆記1——偏導數》中，曾經提到過近似，對於f = f(x, y, z)的微小改變Δf，是對其所有變量的微小擾動的總量：
當Δx→0，Δy→0，Δz→0時，約等於就變成了等於：
這就是全微分，全微分包括所有能改變函數值的因素。
鏈式法則
對於f = f(x, y, z)，x = x(t), y = y(t), z = z(t)，也就是xyz都是關於t的函數（可參考《線性代數筆記6——直線和參數方程》）。如果將t看作時間，此時Δf可以看作是在微小時間Δt變化后產生的影響：
這就是鏈式法則的內容。
也可以從微分的角度得出鏈式法則：
示例
w = x2y + z, x = t, y = et, z = sint，求w的全微分
上面是根據鏈式法則的計算，如果直接把xyz代入w，w就變成了t的函數，對w直接求導：
和鏈式法則得到了相同的結果，這說明鏈式法則和直接代入是一樣的。但如果x(t),y(t),z(t)很復雜，不能寫成t的顯函數，僅知道他們的偏導，那就只能使用鏈式法則了。
證明導數的乘法法則
導數的乘法法則是這樣描述的：(uv)’ = u’v + uv’，可以用鏈式法則加以證明。
令f = uv，u = u(t), v = v(t)
證明導數的除法法則
用鏈式法則證明導數的除法法則：u/v = (u’v = uv’)/v2
令f = u/v，u = u(t), v = v(t)
對多變量使用鏈式法則
在極坐標中，x = x(u, v), y = (u, v)，退化成直角坐標后f = f(x, y)，如何求f的全微分？這與之前不同，將x,y代入f后仍有兩個變量，這需要連續使用鏈式法則：
x和y的微小改變導致了f的改變，而u和v的微小改變有導致了x和y的改變，這樣傳遞的結果就變成了u和v的微小改變有導致了f的改變。
需要注意的是最終結果中的偏導：
對於偏導，不能像導數一樣使用約分，即：
也就是說d可以消元，δ則不行。
綜合示例
示例1
f = f(x, y), x = rcosθ，y = rsinθ，求df
示例2
z = x2 + y2,x = u2 – v2 ,y = uv，求z的全微分
解法一，使用鏈式法則：
解法二，直接代入：
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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