旋度
場向量的旋度衡量的是運動的旋轉部分，它表達的是在給定點上扭轉程度的大小，用數學符號表示就是：
旋度的大小表示扭轉程度，正負表示旋轉是順時針還是逆時針。由上一章可知，在保守中旋度為0。
舉例來說，如果氣流或水流的旋度為0，表示沒有渦流，F = xi + yj：
F = -yi + xj實際上是一個逆時針勻速轉動的向量場，其旋度為2：
在復雜運動中，一些點的旋轉可能比其他點多，此時旋度不是常數，它依賴於點所處的位置，也就是x和y的值。氣象圖中，高旋度的地方可能是台風或龍卷風：
在力場中，旋度衡量的是任意一點所受的扭矩，或者說扭矩是力轉動的對應量。
格林公式
如上圖所示，在向量場中有一條閉合曲線C，其所圍成的區域是R，如果要計算C的線積分,有兩種選擇，一種是直接計算，另一種是使用格林公式。
格林公式是另一種可以避免計算線積分的方法。格林公式是這樣描述的：在處處有定義且處處可導的向量場F = Mi + Nj中，逆時針方向的閉合曲線C圍成的區域是R，則C的線積分等於區域R上對旋度curl(F)的二重積分：
這是個奇特的結論，左側的線積分定義在曲線上，而右側的二重積分定義的是曲線內部的區域。之所以規定曲線是逆時針，是基於旋度的定義，如果曲線是順時針，那么等式右側就是∫∫R(My - Nx)dA。實際上格林公式也與保守場互相佐證，如果是保守場，My - Nx = 0，等式右側的二重積分也為0。
公式的由來
這個怪異的公式是如何得到的呢？
點在場中的閉合曲線C上逆時針運動，嘗試一個簡化問題的驗證，假設場是F = Mi，也就是N = 0，那么現在需要證明的是：
如果上式成立，則同理可證：
明確目標后先來看一個圖示：
將C圍成的閉合區域拆分成C1和C2兩部分，它們都是逆時針方向。將C1和C2的線積分相加，將比C的線積分多計算了兩次分界線。注意分界線上C1和C2的方向，發現二者相反，所以在分界線上二者抵消，故：
如果格林公式成立，則：
由此推廣，對於更復雜的曲線，總是可以分成多個相對簡單小區域，如果格林公式成立，則曲線的線積分等於所有小區域的二重積分之和。對於簡單的小區域，可以划分成無數個豎直的矩形：
將矩形放大：
C1C2C3C4是矩形的四個邊，C2和C4的曲線分別是y = f1(x) 和y = f2(x)，上圖中：
至此，達到了最初的目標，所以格林公式成立。
使用示例
如上圖所示，C是逆時針旋轉的半徑為1的圓，計算C在場中的線積分：
首先嘗試直接結算，判斷一下場是否是保守場：
對x和y參數化：
代入后將得到令人抓狂的結果：
現在改用格林公式：
這是個不錯的結果。為了避免計算復雜的積分域，所以積分域取1/4圓：
還有一種更簡單的計算方式：
綜合示例
示例1
場中的逆時針路徑C是半徑為a，圓心在x軸上的圓，計算：
示例2
擺線的參數方程：x = a(θ – sinθ)，y = a(1 – cosθ)，a > 0，y ≥ 0，計算擺線與x軸圍成的面積。
首先用描點法畫出草圖：
a > 0，y ≥ 0 => 1 – cosθ ≥ 0 => 0 ≤ θ ≤ 2π;
θ = 0，x = 0，y = 0; θ = π，x = aπ, y = 2a；θ = 2π，x = 2aπ, y = 0
根據格林公式：
其中的兩種可能是：
現在將二重積分變成了線積分，如下圖所示，C = C1 + C2：
由於x的積分限更好確定，所以使用第二種解：
三角函數的積分可參考《數學筆記20——三角替換1（sin和cos）》
示例3
是否存在閉合曲線C，能夠使下面的積分取最小非負值？
當C壓縮成一點的時候，線積分會有最小值，但是最小值可能是負數，最小的非負值是什么？正負轉換的邊界曲線又是什么？
還是使用格林公式將線積分轉換為二重積分：
二重積分的被積函數是橢圓，從幾何意義看來，積分最小時應當取面積最小的橢圓：
根據幾何意義，二重積分是曲面與曲面在xy軸的投影所圍成的體積，當 z = 4y2 + x2 – 4 < 0時，體積是負值，所以此時線積分也是負值。正負的邊界就是g = 4y2 + x2 – 4 = 0，g所圍成的面積是橢圓，所以曲線g就是所要尋找的線積分路徑C。
作者：我是8位的
出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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