多變量微積分筆記9——極坐標下的二重積分

　　直角坐標是常用的坐標法，但是對於一些特別的問題，在直角坐標系下處理就顯得有點笨拙了。這個時候，不妨試試極坐標。它可以使得問題變得出乎意料的簡潔，也能讓問題直觀和清晰起來。

　　關於極坐標的相關問題可參考《數學筆記27——極坐標下的面積》

極坐標的積分域

　　在上一篇文章的“積分邊界”一節有這樣一個例子： z = 1 – x² – y²，如果約束 x² + y² ≤ 1且x ≥ 0，y ≥ 0，那么z的二重積分是什么？

　　R區是1/4圓：

　　現在我們嘗試將其轉換為極坐標來計算R區域，這將是半徑r和夾角θ的函數：

 

　　在絕大部分情況下，我們會使用θ作為外積分，r作為內積分；同時很容易確定二者的積分域：

極坐標下的dA

　　還是使用黎曼和去解釋積分，那么在極坐標下如何切割成小矩形？

 

　　如上圖所示，陰影部分就是ΔA，這是個近似的矩形，設其寬度為Δr，長度近似於弧長：

　　這就是在極坐標下的dA，它不在簡單地等於dθdr，所以上一節的正確答案應該是：

 

　　把原函數轉換為極坐標后就可以計算積分了：

正態分布函數的積分

　　在概率論中經常使用正態分布函數，現在嘗試求解它的積分：

　　這是在單變量積分中很難計算的問題，只知道它最后將等於一個常數I。現在來看一個二重積分：

　　現在，問題變成了計算二重積分。貌似更復雜了，但是如果轉換成極坐標，求解就會非常清晰。由於積分域是±∞，所以是對全空間的積分，因此可以將dr作為外積分。轉換后的極坐標積分如下：

綜合示例

示例1

　　 

　　R區域：

 

　　如果轉換為極坐標，很容易判斷θ的變換區域是0 ≤ θ ≤ π/4，需要計算的是r的積分域，如下圖所示：

示例2

 　　

　　R區域：

 

　　如果轉換為極坐標，很容易判斷θ的變換區域是0 ≤ θ ≤ π/4，r_min = 0

 

　　r_max實際上是r關於θ的函數，由於r的另一端總在y = x²上，所以轉換為極坐標后：

示例3

 　　

　　對於x的積分上限：

 

　　由此可見R區域是一個半圓。轉換為極坐標后，0 ≤ θ ≤ π/2，r_min = 0，r_max是r關於θ的函數。

 

 

 

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 　　作者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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