直角坐標是常用的坐標法，但是對於一些特別的問題，在直角坐標系下處理就顯得有點笨拙了。這個時候，不妨試試極坐標。它可以使得問題變得出乎意料的簡潔，也能讓問題直觀和清晰起來。
極坐標
什么是極坐標
概念來自百度百科：
在平面內取一個定點O，叫極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對於平面內任何一點M，用r表示線段OM的長度，θ表示從Ox到OM的角度，r叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數對 (r,θ)就叫點M的極坐標，這樣建立的坐標系叫做極坐標系。通常情況下，M的極徑坐標單位為1（長度單位），極角坐標單位為rad（或°）。
簡單地說，極坐標有兩個主要部分：長度和方向。
極坐標僅僅是將直角坐標系的點換了一個表示法，仍未脫離原來的直角坐標系。很容易知道，如果M用x和y表示，那么：
這就是直角坐標系轉換為極坐標表示法的轉換公式。此外：
實際上距離和夾角都可能是負數，這種寫法可以避免和正負號攪合在一起。
注：在極坐標中，x不再是y的函數，即x不再是變量，這在上篇文章的“新的思維模式”一節做過詳細說明。
極坐標下的點、直線和圓
點
現在嘗試將(x, y) = (1, -1)轉換為極坐標表示法：
根據轉換公式，可以得到三組答案：
直線
用極坐標表示直線y = 1。
y = rsinθ=1， r = 1/sinθ
這就是結果。這可以用下圖表示：
圖中每個向量長度都表示r，與x軸的夾角是θ，r = 1/sinθ呈扇形展開，因此也可以知道θ的取值范圍是0 ≤ θ ≤ π
圓
在直角坐標系下，半徑為a的圓是x2 + y2 = a2，轉換為極坐標后：
所以可以用r = a表示極坐標系下的圓，當r的取值范圍是(-∞, +∞)時，表示極坐標系下的所有點。
r = 1
示例
用極坐標表示(x – a)2 + y2 = a2
圓心並不在原點。我們可以直接套用公式：
也可以使用一個比較快的方法，先計算，后代入：
還剩下最后一點，θ的取值范圍，少了這點，我們就無法對其進行積分。
當θ = 0時，r的一端在(2a, 0)點；點沿着圓逆時針轉動，當θ= π/2時點在(0, 0)處，期間r掃過了上半圓：
同理，當-π/2 <=θ<=0時，r掃過了下半圓。因此，θ的取值范圍是[-π/2, π/2]
極坐標下的面積
面積公式
如上圖所示，在已知半徑和夾角的情況下很容易求得扇形的面積。
如果是一個不規則曲線形成的面積呢？
A = ？
我們可以利用黎曼和的知識對其進行切分，形成一個個小扇形：
曲線內的任意扇形：
整個面積：
這也是極坐標下的面積公式。
示例1
計算r = 2acosθ的面積。
這在上一節的示例中出現過，如果過退化為直角坐標系，很容易看出是一個圓，其面積是：
這正是期待的結果。
示例2
r = sin2θ的面積
為了更直觀地計算面積，首先要畫圖。
相面是θ在第一象限內的取值：
θ = 0， r = 0; θ = π/4， r = 1; θ = π/2， r = 0。
π/2是一個周期，四個象限的圖形應當一致：
實際上這就是著名的四葉玫瑰函數，它的運動軌跡如下：
當π/2 ≤ θ ≤ π時，曲線向相反方向運動：
現在可以計算面積了。
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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