在對數上的應用
解微分方程 L’(x) = 1/x，直接用積分法求解，得到L(x) = lnx；用微積分第二基本定理，可直接寫作：
如果我們把這個函數作為對數的定義，就可以很容易地解釋對數的性質。
構圖
本例可以得到幾個性質：
L(1) = 0，在該點的斜率L’(1) = 1；L’(x) = 1/x，在x > 0時L’(x) > 0，說明L(x)在x > 0上是遞增的；L’’(x) = - 1/x2 < 0，說明L(x)是凹函數，L’遞減，即L的切線斜率遞減，現在根據這幾個性質作圖（可參考數學筆記7——曲線構圖）：
實際上，L(x)將會和y=1相交於點(e, 1)，e就是使L(x) = 1時x的值：
L(ab) = L(a) + L(b)
我們嘗試用微積分表示法解釋L(ab) = L(a) + L(b)
這是對數的基本運算公式之一，ln(ab) = ln(a) + ln(b)，如果用微積分作為對數的定義，則：
結合定積分的性質：
這樣問題就轉換成了如何證明 
這個證明需要一個稱為變量替換法的技巧，通過該方法巧妙地給出證明。
可以將積分的上下限看成b和1放縮了a倍：
令t = au，無窮小量dt = dau = adu，即du放縮了a倍：
下限，當t = a時，L(a) = 1/a = 1/au，故t = a時，u = 1；
上限，當t = ab時，L(ab) = 1/ab = 1/au，故t = ab時，u = b
由此知道了轉換后的積分上下限：
問題得證。
L(1/a) = -L(a)
這是對數的另一個基本運算公式，ln(1/a) = -ln(a)
如果L(1/a) = -L(a)成立，那么有
令t = u/a，無窮小量dt = du/a，即du放縮了1/a倍：
下限，當t = 1時，L(1) = 1 = 1/(u/a) = a/u ，故t = 1時，u = a；
上限，當t = 1/a時，L(1/a) = a = a/u，故t = 1/a時，u = 1
由此知道了轉換后的積分上下限：
問題得證。
在幾何上的應用
定積分可用來求得兩條曲線間的面積，如下圖所示，求g(x)和f(x)在a，b之間圍成的面積：
我們將待求面積切割成小矩形，矩形的寬度是dx，高度≈f(x) – g(x)，所以所求面積：
a,b,f(x),g(x)代表了圖形的四個邊界，知道這些邊界就可以確定面積，也就是求得定積分的值。這些條件都是必須的，如果漏掉上限或下限，就不知道左右邊界，如果連邊界都不知道，如何求出面積？同理不能漏掉f(x)和g(x)，它們代表了上下邊界。
示例1
求曲線x = y2和y = x – 2圍成的面積。
很容易求得兩條曲線的交點是(4, 2)和(1, -1)，圖形如下：
首先想到利用前面的公式計算面積，但問題在這里似乎沒那么簡單。當我們縱向切割矩形時，發現矩形並不總是由x = y2和y = x – 2圍成；在x < 1時，僅由x = y2圍成，如下圖所示：
上圖的綠色虛線將面積分為左右兩塊。
首先將x = y2轉換為x的函數：
右側的面積實際是由y = x1/2 和y = x -2圍成：
左側的面積由 y = x1/2 和 y = -x1/2 圍成：
現在換一種更簡單的解法，我們嘗試橫向切割矩形：
這需要將原函數變為x關於y的函數，相當於將圖像逆時針旋轉90度：
一切都清晰了。
示例2
計算下圖sinx和cosx前兩次相交所圍成的面積
由此可見，定積分可以計算我們過去無法計算的面積。
總結
可以看作對數的定義，從而解釋對數的各個性質。- 可以使用 計算兩條曲線所圍的面積。
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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