我們已經學習了有限區間上的積分，但對於無窮的情況和區間上有奇點的情況仍無法理解。這就需要無窮積分和瑕積分來處理了，它們看起來十分有趣。
增長和衰減速率
通過上一章的內容，我們已經可以做出一些總結，在洛必達法則中，如果f(x) << g(x)且f,g > 0，那么當x→∞時，f(x)/g(x)→0；如果f(x) >> g(x) 且f,g > 0，那么當x→∞時，f(x)/g(x)→∞
反常積分
收斂和發散
反常積分是這樣定義的：
從定義來看，也就是正常積分的上限N趨於∞。如果極限存在，它就是收斂的，否則就是發散的。
積分表示面積，在收斂的情況下，面積是有限的，如下圖所示，面積最終將趨於定值：
在發散的情況下，面積是無限的，比如一條與x軸平行的直線。
計算反常積分
示例1：
也可以采用一種更簡短的寫法：
示例2：
在上限是∞的時候，1/x的積分是發散的。這似乎與直覺相反，雖然被積函數f(x) = 1/x隨着x的遞增而減小，但它的衰減速度還不夠“快”，它仍然是發散的。
示例3：
到這里就可以結束了，如果我們還想繼續探索一下，就要看看P的取值范圍。首先p的值不能為1，當p < 1時，
當p > 1時，
對於該例來說，p < 1時是發散的，p > 1時時收斂的。
審斂法
我們通常對反常積分是發散還是收斂很感興趣，然而計算極限往往令人沮喪，幸而我們了解增長和衰減速率，將被積函數替換成更快或更慢的函數，以此判斷反常積分的收斂性，這種方法就是審斂法。
審斂法大概是這樣描述的：
當x→∞且f,g ≥0時，
- 如果f(x) ∽ g(x)，即f(x)/g(x)→1，則
- 如果g(x) >> f(x)且
是收斂的，則
也是收斂的 - 如果g(x) << f(x)且
是發散的，則
也是發散的
示例1
判斷 
的收斂性
如果求解原函數，就需要動用三角替換，經過一些列轉換后再求解極限，可能還要使用洛必達法則……現在嘗試使用審斂法判斷。
所以答案是發散的。
這里需要注意的是，相似的反常積分的下限是1。這么做有兩點原因，第一點當然是分母不能為0；第二點是，當上限為∞是，下限不構成影響結果的主要因素。在反常積分中，我們關注的是趨於∞的尾端。將下限寫為1僅僅是便於理解和書寫，實際上可以寫成大於0的任意數。
示例2
判斷
的收斂性
結果是收斂的。
示例3
判斷
的收斂性
結果是收斂的，其中用到的衰減率是 1 ≤ x ≤ x2，- x2 ≤ -x
瑕積分
定積分的奇點
這很簡單，
這個答案對嗎？
我們熟知1/x2的圖像，積分表示面積，那么它不可能是負數，一定是哪個環節出現了問題。
如果只計算x ≥ 0時的面積：
這個結果是無意義的，對1/x2在[0,1]上積分沒有任何意義。換個角度看這個問題，假設積分下限是是一個無限接近0的數值，結果趨近於∞，這個積分是發散的。
在這個例子中，將0稱為積分的奇點，對於不同的積分來說，奇點也不同。積分在奇點上是無意義的。
結論是，如果我們這計算時不注意積分的奇點，很容易導致計算錯誤。看來在今后的積分運算中又多了一條注意事項。
瑕積分的定義
將存在奇點的積分稱為瑕積分，用數學符號表示就是：
需要注意的是a是從右側接近0，這實際上和處理無窮的思路是一樣的。
就是一個典型的瑕積分，奇點是0，結果是∞。
收斂和發散
與反常積分一樣，我們關注的是瑕積分在奇點的收斂性。
當x→0+時：
當x→+∞時：
這里用紅色的被積函數表示發散，綠色表示收斂，很容易對其進行計算。
可以通過圖像直觀地了解一下：
示例
判斷
的收斂性
看起來很簡單，
當x→∞時，1/x2的積分是收斂的，所有結論是收斂。
真相確實如此嗎？1/(x – 3)2的圖像如下：
看起來沒那么簡單了，答案應該是發散才對。問題的原因就在於積分存在奇點，就是x = 3。一個簡單的判定奇點判定法是當x = 3時被積函數沒有意義。
等式右側的第一個積分跨越了奇點，在奇點一節中提到過：積分在奇點上是無意義的，如果一個積分跨越了奇點，那么這個積分就是發散的。所以最后答案是發散。
綜合示例
示例1
判斷積分的收斂性
其結果是在-1和1之間波動，所以題目積分是不可積的。
更簡單的方法是在0和∞之間，cosx的圖像是來回擺動的，並未趨近於某個值，可以直接得出不可積的結論。
示例2
判斷積分的收斂性
積分的奇點是0，需要判斷這奇點上是否是收斂的。
先用分部積分求解，
極限是0·∞型，需要對其進行轉換以便使用洛必達法則，
題目積分在奇點收斂於0，最終收斂於-4。
示例3
判斷積分的收斂性
積分的奇點是0，積分跨越了奇點，需要分成兩半：
題目積分在奇點收斂於0，最終收斂於6。
示例4
曲線f(x) = 1/x繞x軸旋轉，求x在[1, ∞)上形成圖形的表面積和體積。
上面的計算通過弧長計算表面積（弧長和表面積可參見數學筆記25——弧長和曲面面積），再利用審斂法求反常積分。這看起來沒什么問題，但是有些繁瑣。由於我們已經知道1/x在x→∞上是發散的，所以可以直接判斷表面積也發散。
根據圓盤法（圓盤法可參見數學筆記17——定積分的應用2（體積））求計算體積：
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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