單變量微積分筆記3——導數3（隱函數的導數）

冪函數的擴展形式

　　f(x) = xⁿ的導數：f’(x) = nx^n-1，n是整數，該公式對f(x) = x^m/n, m,n 是整數同樣適用。

　　推導過程：

　　兩端同時求導，由於y是x的函數，根據鏈式求導法則：

什么是隱函數

　　引自知乎：

　　“如果方程F(x,y)=0能確定y是x的函數，那么稱這種方式表示的函數是隱函數。

　　“本質上F(x,y)=0函數y=f(x)是一樣的，但是在數學理論中，總有一些函數，人們已經證明它們的函數關系，但是還是無法表示成顯函數的形式，就叫做隱函數。隱函數一般是一個含x,y的方程如e^y+x^2+x=0這種形式，由於形式復雜，y不容易變形為用含x的式子表示，即不易表示為y=f(x)，但如果能確定對於x的每一取值，y都有唯一確定的值與它對應的話，y就是x的函數關系，但這樣的關系隱含在方程中，不容易寫成明顯的函數關系的形式，所以稱隱函數。”

示例1：x² + y² = 1求導

　　對x² + y² = 1，y >= 0求導

　　解法1：y = (1-x²)^1/2

　　根據鏈式求導法則，

 

　　解法2：y² = 1 – x²，y是x的函數，等式兩邊同時求導：

　　解法3：隱函數保持不變，直接對等式兩側求導：

示例2：y⁴ + xy² – 2 = 0求導

　　用顯示求導方法將麻煩到一定程度，所以直接使用隱示求導：

　　到此，隱示法求解的結果還是隱示，但似乎沒有必要再把y用x替換，當需要求解f(x,y)=y⁴+xy²-2=0在某一點(x₀,y₀)的導數時，只需要將x₀,y₀代入即可；如果只給出x₀，也可以通過簡單的代入法求出對應的y₀，再代入隱示結果。

 

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　　 出處：微信公眾號 "我是8位的"

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