什么是導數
導數是高數中的重要概念，被應用於多種學科。
從物理意義上講，導數就是求解變化率的問題；從幾何意義上講，導數就是求函數在某一點上的切線的斜率。
我們熟知的速度公式：v = s/t，這求解的是平均速度，實際上往往需要知道瞬時速度：
當t趨近於t0，即t-t0趨近於0時，得到的就是順時速度。設Δt=t-t0，s是t的函數s=f(t)，瞬時速度用數學表示就是：
從幾何意義上講，導數是函數在某一點處的切線的斜率：
直線a與曲線相切於點Q，直線b與曲線相割於點Q和點P。b的斜率是k=(y-y0)/(x-x0)，當b以Q為軸心沿着曲線旋轉時，鉉長|PQ|趨近於0，即x→x0時，極限存在：
由上述兩個問題可以看出，變化率和切線的問題都可以歸結為下面的公式：
令Δx = x-x0, Δy = y - y0 = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0)，上面的公式可以寫成：
由此得出導數的概念，設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0處取得增量Δx，且x0+Δx仍在該鄰域內時，y取得增量Δy；如果Δy與Δx之比在Δx→0時存在極限，則稱函數y=f(x)在點x0處可導，並稱這個極限為函數y=f(x)在點x0處的導數，記作f’(x0) ：
也記作：
簡寫為：
1/x求導
根據導數公式，代入f(x) = 1/x
這就OK了，所以說導數很簡單，因為它僅有一個公式。但沒完，因為上式沒有任何意義，僅僅是看起來更復雜了。如果我們直接觀察導數公式，對於所有求導，當Δx→0時，分母都為0，所以必須將導數進一步簡化。
“求f(x)的導數”或“對f(x)求導”有兩種解釋，一種是求f(x)的導函數，此時的結果是一個函數；另一種是求f(x)在定義域某一點的導數，此時的結果是將該點的值代入導函數，最終得到一個具體的數值。究竟是哪種解釋需要根據上下文判斷，通常都很直白，不必太過糾結。
求切線所在三角形的面積
直線MN是曲線1/x的切線，切點是(x0,y0)，求S△MON
S△MON = 1/2(OM × ON)，已知條件是切點(x0,y0)，需要求解的未知條件是OM和ON。
直線MN的函數是y=kx+b，1/x在（x0,y0）的導數是MN的斜率，即k = -1/x02：
設M點的坐標是(x,0)，代入y=kx+b：
同理，ON=2y0
sin和cos求導
先來看兩個函數的曲線：
sin0°= 0，sin90°= sin(π/2) = 1
求導時需要用到幾個公式：
1、2不解釋，3、4后面會給出證明。
sin' x = ?
cos' x = ?
為什么會有公式3、4
公式3需要從幾何意義上證明。
上圖是一個單位圓，將Δx用θ替換。由於單位圓的特性使半徑r=1，弧長MN=θ。
公式3：
當θ趨近於0時，PN比弧長MN更快地趨近於0，所以公式3成立。
公式4的道理與公式3類似。sinθ=MP/OM=MP，當θ趨近於0時，MP越來越趨近於MN（二者越來越相等）。
冪函數求導
總是用極限的方式求導太過麻煩，幸而人們總結出了一系列求導公式。其中冪函數求導就可以直接使用公式：
函數可導的條件
如果一個函數的定義域為全體實數，即函數在其上都有定義，那么該函數是不是在定義域上處處可導呢？答案是否定的。函數在定義域中一點可導需要一定的條件：函數在該點的左右兩側導數都存在且相等。這實際上是按照極限存在的一個充要條件（極限存在，它的左右極限存在且相等）推導而來。
簡單來說，可導的函數一定連續；連續的函數不一定可導，不連續的函數一定不可導。
下面是兩個不可導的例子：
f(x)=x1/3
f(x)=x1/3，f’(x)=x-2/3/3在x=0處分母為0，所以在x=0處不可導。實際上該函數在x=0處的切線是y軸，導數趨近於無窮，不符合導數的定義，導數代表變化率，變化率一定是定值，不會有趨於無窮的變化率。
再來看另一個：
f(x)=|x|
幾何上，切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線。更准確地說，當切線經過曲線上的某點（即切點）時，切線的方向與曲線上該點的方向是相同的。f(x)=|x|在x=0點時，曲線沒有唯一方向，即在x=0點沒有切線，所以該函數在x=0點不可導。
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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