一個我們可以思考的問題
世界是離散的，還是連續的？
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微積分與概率論
關於世界是「離散」還是「連續」的這個問題，讓我想起了另一個類似范疇的討論，即這個世界是「概率的」（statistics）還是「微積分的」（calculus）。再換個角度說，世界是「不確定的」（indeterminate）還是「確定的」（determinate）。
在確定性的世界里，微積分是至高規則。你可以通過設置參數、推導過程、運用公式...准確地計算一件事。比如，當你想發火箭到月球上，你需要的是微積分的思維——這意味着你必須每時每刻都知道火箭在哪兒，精確地預測整個過程。而不是，先發射，路上再慢慢調整。
而在不確定的世界里，概率論才是解釋世界的方法。你無法精確預知一件事的過程和結果，你能做的僅是，通過收集足夠多的樣本，觀察結果的分布，來預測某件事情「有多大可能」會「產生某種結果」。
作者：張瀟雨 鏈接：https://www.zhihu.com/question/21075436/answer/56329703 來源：知乎 著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。
📖 Takeaways
數學由離散走向了連續
微積分
- Continuity 連續
- Limit 極限
- “趨近”
- Differential Calculus 微分
- Derivative 導數
- 瞬時變化率
- Differentials 微分
- 以直代曲
- Derivative 導數
- Integral Calculus 積分
- Integral
- Integral
需要建立的概念
- rates of change 變化率
- 極限
- 近似
熟知的典型應用
- Gradient Descent 梯度下降法
極限與連續
數列存在極限的存在准則
- 單調有界
- 夾逼
函數極限
- 鄰域 左右極限
- 充要條件
無窮小與無窮大
無窮小的比階
不是所有的無窮小都可以比階
無界量
- 無界量不一定是無窮大量
\[f = x\sin x \]
間斷點
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第一類
- 可去
- 跳躍
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第二類
- 無窮間斷點
- 震盪 sin(1/x)
連續
連續
微分學
可導與連續
- 可導一定連續
- 但不一定在一個鄰域內連續
\[y = x^2D(x) \]
(Direclet)
一元函數可微與可導互為充要條件
高階導數的求解
- 萊布尼茨公式
- 冪級數——函數展開式的唯一性
參數方程的二階導數
反函數的二階導數
變限積分求導公式
一元函數微分學的應用
極值和最值
最值點不一定是極值點（端點 / 常函數）
極值點不一定是最值點
多元函數閉區間唯一極值點不一定是最值點（馬鞍面）
通過保號性判斷極值
漸近線
函數取值范圍問題
中值定理
有界最值定理
介值定理 IVT 😂
注意介值定理的條件：閉區間連續
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問題的抽象
- 合理選擇變量
- 椅子腿和地面的距離之和的差值
\[f(x)\cdot g(x) = 0 \\ f(x), g(x) \geq 0 \] -
構造函數
\[h(x) = f(x) - g(x)\\ \exists x_0 \to h(x_0) = 0 \\ 此時 f(x_0)\cdot g(x_0) = f(x_0) ^2 = g(x_0)^2 = 0 \\ 因此有 \ f(x_0) = g(x_0) = 0 \]
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均值定理（可由介值定理導出）
費馬定理（保號性）
羅爾定理
羅爾定理的多次使用
拉格朗日中值定理
柯西中值定理推導拉格朗日定理
積分中值定理
泰勒公式
零點問題、微分不等式
零點
羅爾定理的推論：n階導數至多有k個根，f(x)至多有 k+n 個根
實系數奇次方程至少有一個實根（零點定理）
積分
定積分
反常積分
充分條件
- 連續
- 有界，有有限個間斷點
- 單調
必要條件：有界
反常積分
- 無界
- 無窮
反常積分存在不一定極限等於零
積分的計算
分部積分公式
積分的幾何應用
面積
- f1x-f2x
- 曲邊扇形
體積
積分等式和不等式
多元函數微分
點集的基本概念
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鄰域 / 去心鄰域
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內點
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邊界點
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有界集 / 無界集
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開集 / 閉集
可以由原點的一個鄰域囊括
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聯通集
極限的存在性
偏導數
