微積分的離散化

Part1:差分與離散變化率

眾所周知,一個函數\(f(x)\)可微的必要條件是其連續.對於定義域非緊密的函數,顯然是無導數可言的.然而,回憶導數的定義

\[y'=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \]

我們設有一組\(n\)元點集\(\{(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),\dots,(x_n,f(x_n))\}\),且\(x_1,x_2,\dots,x_n\)構成以\(d\)為差的等差數列,定義

\[\Delta y_i=y_i-y_{i-1},i=2,3,\dots,n;\\ \Delta y_1=y_1. \]

稱為差分(difference),正好與微分相應.同樣地,定義

\[y'_i=\frac{\Delta y_i}d=\frac{y_i-y_{i-1}}d,i=1,2,\dots,n \]

稱為離散變化率(discrete rate of change),正好與導數相呼應.於是,微積分就被推廣到了離散點集上.離散變化率的幾何意義是連接相鄰兩點直線的斜率.當\(f\)為多項式時,差分也是一種線性算子,並會使多項式的階數減少\(1\).

相應地,我們還可以定義高階差分和高階離散變化率:

\[\Delta^k y_i=\Delta^{k-1}y_i-\Delta^{k-1} y_{i-1},i=2,3,\dots,n,k>1;\\ \Delta^k y_1=y_1.\\ y^{(k)}_i=\frac{\Delta^k y}d,i=1,2,\dots,n,k\ge1. \]

特別地,我們定義:一組序列的\(0\)階差分等於其本身.

可以發現,由於變量離散性,差分的順序不同,結果也不同.因此,我們將上述定義的差分稱作后向差分,並定義前向差分為:

\[\Delta y_i=y_{i+1}-y_i,i=1,2,\dots,n-1;\\ \Delta y_n=-y_n \]

也可定義中心差分為:

\[\Delta y_i=\frac12(y_{i+1}-y_{i-1}),i=2,3,\dots,n-1;\\ \Delta y_1=\frac{y_2}2;\\ \Delta y_n=-\frac{y_{n-1}}2. \]

Part2:前綴和與帶權前綴和

回憶積分的定義:

\[\int_{\alpha}^{\beta}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi)\Delta x_i \]

相應地,定義變量的前綴和(prefix sum)為:

\[\sigma(y_i)=\sum_{j=1}^i y_j+C \]

這對應着微積分中的不定積分.顯然,前綴和是前向差分的逆運算,相應地定義

\[\sigma(y)_l^r=\sum_{j=l}^r y_j+C \]

稱為子段和,對應着定積分.顯然,\(y\)的任意一個子段和都可以表示成其前綴和的差,對應着任何一個定積分都可以表示為原函數的差一樣.我們也可以相應地定義后綴和(suffix sum):

\[\sigma(y_i)=\sum_{j=i}^n y_j+C \]

就是后向差分的逆運算.

Part3:差分方程

差分方程的定義很廣泛.總之,凡含有因變量離散求差的方程就是差分方程(difference equation).結果都是因變量關於離散下標的函數.如,求

\[\Delta y_t=a \]

的通解.顯然有

\[\tilde{y_t}=\sigma(\Delta y_t)+C=\sum_{i=1}^t a+C=at+C. \]

進一步地,考慮

\[\Delta^2 y_t=a \]

的通解.顯然有

\[\tilde{y_t}=\sigma(\sigma(\Delta^2 y_t)+C_1)+C_2=\sum_{i=1}^t(\sum_{j=1}^t a+C_1)+C_2=at^2+C_1t+C_2. \]

更一般地,

\[\Delta^n y_t=a \]

的通解為

\[\tilde{y_t}=at^n+C_1t^{n-1}+\dots+C_{n-1}t+C_n \]

一階線性齊次差分方程

相應於微分方程,差分方程也有許多不同的分類.我們要討論的一階線性齊次差分方程(linear homogeneous first-order difference equation),是形如以下形式的差分方程:

\[y_{t+1}-ay_t=0 \]

其中\(a\)為非零常數.其特征方程為:

\[r-a=0 \]

仿效微分方程的解法,便有其通解為

\[y_t=ca^t \]

其中\(c\)是任意常數.

一階線性非齊次差分方程

一階線性非齊次差分方程(linear nonhomogeneous first-order difference equation)的形式如下:

\[y_{t+1}-ay_t=f(t) \]

其中\(a\)為非零常數,\(f(t)\ne 0\)為\(t\)的函數.該方程的解具有形式

\[y_t=\tilde{y_t}+y_t^* \]

其中\(\tilde{y_t}\)為一階線性齊次差分方程\(y_{t+1}-ay_t=0\)的通解,\(y_t^*\)為方程的一個特解.我們來討論以下方程的特解.

\(1.\)當\(f(t)=P_m(t)\),\(P_m(t)\)是一個\(t\)的\(m\)次多項式,則有\(y_t^*=Q_m(t)\),\(Q_m(t)\)是\(t\)的\(m\)次特定多項式,求法與微分方程相似.

\(2.\)若\(f(t)=b^tP_m(t)\),\(b\)為某非零常數,則\(y_t^*=t^kb^tQ_m(t)\),當\(b\)不是特征方程的根時,\(k=0\);否則\(k=1\).

本文完