微積分 學習筆記

1階導：\(\frac {dy}{dx}\)

2階導：\(\frac {d(\frac {dy}{dx})}{dx}=\frac {d^{~2}y}{dx^{~2}}\)

n階導：\(\frac {d^{~n}y}{dx^{~n}}\)

導數常用公式一覽

基本導數：
\(C'=~0\)

\((x^n)'= ~n~x^{n-1}\)

\((\sin x)'= ~\cos x\)

\((\cos x)'=~ -\sin x\)

\((e^x)'= ~e^x\)
\((e^{cx})'=~c~e^{cx}\)

鏈式法則：
\((a^x)'= [e^{~x \ln a}]'~=a^x~\ln a\)

除法法則：(也可以用鏈式法則\(-1\)次方去理解)
\((\csc x)'=(\frac 1 {\sin x})'=~-\frac {\cos x}{\sin^2x}=~-\csc x \cot x\)

\((\sec x)'=(\frac 1 {\cos x})'=~\frac {\sin x}{\cos^2x}=~\sec x \tan x\)

\((\tan x)'=~\frac 1{\cos^2 x}=~\sec^2 x\)

\((\cot x)'=~-\frac 1{\sin^2 x}=~-\csc^2 x\)

逆函數法則：
\((\ln x)'=~\frac 1 x\)

\((\log_a x)'=~\frac 1 {x\ln a}\)

\((\arcsin x)'=(\sin^{-1} x)'=~\frac 1{\sqrt{1-x^2}}\)

\((\arccos x)'=(\cos^{-1} x)'=~-\frac 1{\sqrt{1-x^2}}\)

\((\arctan x)'=(\tan^{-1} x)'=~ \frac 1 {1+x^2}\)

\((arccot~x)'=(\cot^{-1} x)'= ~ -\frac 1 {1+x^2}\)

法則

以下\(a,b\)為常數

加減法則：\((a f\pm bg)'=a~f'+b~g'\)

乘法法則：\((fg)'=f~g'+g'~f\)(矩形面積法證明)

除法法則：\((\frac f g)'=\frac {g~f'-f~g'}{g^2}\)

鏈式法則：\([~f(g(x))~]'=\frac {df}{dx}=\frac {df}{dg}\frac {dg}{dx}=f'(g(x))~~g'(x)\)
（外函數求導*內含數求導）

逆函數法則：\([~f^{-1}(y)~]'=\frac {dx}{dy}=\frac {~~~1~~~}{\frac {dy}{dx}}=\frac 1{f'(x)}\)
(逆函數又叫反函數，就是x,y交換，如\(e^x\)與\(\ln x\))

冪法則(由鏈式法則得)：\([f(x)^n]'=n~ f^{n-1}f'\)

洛必達法則：\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac {f(x)} {g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)

高階導：
\((a\pm b)^{(n)}=a^{(n)}\pm b^{(n)}\)
\((Ca)^{(n)}=C~a^{(n)}\)
\((ab)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^n\binom n ka^{(n-k)}b^{(k)}~~~~(長得像二項式定理，用數學歸納法證明)\)

導數應用

1.\(y'\)代表了斜率的變換，與單調性相關
\(y'=0\)時函數取得極值(不同於最大值最小值，極值是局部的)

2.\(y''\)代表了函數的彎曲性(凹凸性)，與函數增長速度有關
\(y''<0且y'=0\)為MAX
\(y''>0且y'=0\)為MIN
\(y''=0\)為拐點(彎曲性改變)

小證明

\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac {\cos\Delta x-1}{\cos\Delta x}=0\)

證明：
\(\frac {\cos\Delta x-1}{\cos\Delta x}=\frac {\cos\Delta x-\cos 0}{\cos\Delta x}\)

就是\(\cos\)在\(0\)處的導數
而\(\cos\)在\(0\)處取得極值，導數為0

\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac {\sin \Delta x}{\Delta x}=1\)

證明：
\(\because 0<\Delta x<\frac {\pi} 2\)
\(\therefore \sin\Delta x<\Delta x,\tan\Delta x>\Delta x\)
\(\therefore \frac {\sin\Delta x}{\Delta x}<1,\frac {\sin \Delta x}{\cos \Delta x}>\Delta x\)
\(\therefore \frac {\sin\Delta x}{\Delta x}<1,\frac {\sin \Delta x}{\Delta x}>\cos \Delta x\)

被\(\cos\)和\(y=1\)兩條線夾着
\(\therefore \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac {\sin\Delta x}{\Delta x}=1\)

\((\sin(x))'=\cos(x),(\cos(x))'=-\sin(x)\)

證明：

\[\begin{aligned} \sin'(x)&=\frac {\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x }\\ &=\frac{\sin(x)\cos(\Delta x-1)+\cos(x)\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ &=\sin(x)\frac {\cos(\Delta x-1)}{\Delta x}+\cos(x)\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\\ &=cos(x)\\ 同理可證： cos'(x)&=-\sin(x) \end{aligned} \]

\((x^{\frac a b})'=\frac a b x^{(\frac a b -1)}\)

證明：

\[\begin{aligned} (x^{\frac a b})^{\frac b a}&=1\\ \frac b a~(x^{\frac a b})^{(\frac b a-1)}\frac {dy} {dx}&=1\\ \frac{dy}{dx}&=\frac a bx^{-(1-\frac a b)}\\ \frac{dy}{dx}&=\frac a b x^{(\frac a b -1)} \end{aligned} \]

\(e^{ax}\)其中\(a\)為常數
\((e^{ax})'=a~e^{at}\)

證明：
令\(y=g(x)=ax\),\(~f(y)=e^y\)
\((f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)=e^y*a=a~e^{at}\)

\(f'=cf+d\)，其中\(c,~d\)為常數
則\(f'=c(f+\frac dc)\)

\(\because(a\pm b)'=a'\pm b'\)
\(\therefore (f+\frac dc)'=c(f+\frac dc)\)

和\(f'=c~f\)長得很像,由\(f'=c~f\)可得\(f=Ae^{cx}\)

所以由\((f+\frac dc)'=c(f+\frac dc)\)可得
\(f=Ae^{cx}-\frac dc\)

\((x\ln x-x)'=ln x\)

8.拉格朗日中值
連續光滑曲線中
區間\([a,b]\)中有一點瞬時斜率等於區間的平均斜率

注意點

用導數求出的函數極值可能在限制范圍外，要特判

微積分

對於函數\(f(x)\)，若求出原函數\(g(x)\)
使得\(\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)=f(x)\)
那么我們隊\(f(x)\)的求和，就可以轉化成\(\Delta g(x)\)的求和
而\(\Delta g(x)\)的求和相鄰兩項會消掉一些東西
最后變成了\(\Delta g(x)_{end}-\Delta g(x)_{begin}\)

而不難發現\(\Delta g(x)\iff slope~g(x)\)
所以原函數就是：導數為\(f(x)\)的函數