各種數：伯努利數，斯特林數，二項式系數及其恆等式。（至少...知道是什么）
各種反演：二項式反演,莫比烏斯反演，MinMax容斥（至少會背公式）
各種卷積：卷積，狄利克雷卷積，子集卷積，集合並卷積，集合交卷積，集合對稱卷積（至少明白是什么意思）
這幾天比較系統的學了一下微積分和導數（其實是高考課課余沒事干和不想在機房頹廢。。
一、導數
其實就是個變化率的問題。
我們設一個函數$f(x)$的導數為$D[f(x)]$
那么：
$$D[f(x)]=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
導數是這樣用的。
$$f(x+\Delta x)=f(x)+D[f(x)]\Delta x$$
然后寫一些常用的求導公式。
1.$$f(x)=ax+b$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ax+b+a\Delta x - (ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=a\end{array}$$
2.$$f(x)=x^n$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}C_n^i x^i{\Delta x}^{n-i}-x^n}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_n^i{\Delta x}^{n-i-1}x^i\\&=&nx^{n-1}\end{array}$$
關於三角函數，我們知道：
$$\lim_{x\rightarrow 0}sin(x)=x$$
$$\lim_{x\rightarrow 0}cos(x)=1$$
3.$$f(x)=\sin(ax+b)$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin(a(x+\Delta x)+b)-sin(ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin(ax+b)cos(a\Delta x)+cos(ax+b)sin(a\Delta x)-sin(ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin(ax+b)-sin(ax+b)+a\Delta x cos(ax+b)}{\Delta x}\\&=&acos(ax+b)\end{array}$$
4.$$f(x)=\cos(ax+b)$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{cos(a(x+\Delta x)+b)-cos(ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{cos(ax+b)cos(a\Delta x)-sin(ax+b)sin(a\Delta x)-cos(ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}-\frac{sin(ax+b)a\Delta x}{\Delta x}\\&=&-asin(ax+b)\end{array}$$
我們知道$e$的定義式是：
$$e=\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$$
5.$$f(x)=a^x$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^x}{\frac{1}{(a^{\Delta x}-1)}\log_a((a^{\Delta x}-1)+1)}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^x}{{\log_a(1+(a^{\Delta x}-1))}^{\frac{1}{a^{\Delta x}-1}}}\\&=&\frac{a^x}{\log_a(e)}\\&=&a^x\ln a\end{array}$$
6.$$f(x)=log_ax$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{log_a(x+\Delta x)-log_a(x)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{x}{\Delta x}log_a(\frac{x+\Delta x}{x})}{x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}}}{xlog_aa}\\&=&\frac{log_ae}{xlog_aa}\\&=&\frac{1}{xlna}\end{array}$$
7.導數運算法則：
$$D[cf(x)]=cD[f(x)]$$
$$D[f(x)+g(x)]=D[f(x)]+D[g(x)]$$
$$D[f(x)-g(x)]=D[f(x)]-D[g(x)]$$
加減不證明了。太顯然了。。
主要證明一下乘除和復合函數。
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)g(x)]&=&\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\&=&\frac{(f(x)+D[f(x)]\Delta x)(g(x)+D[g(x)](\Delta x))-f(x)g(x)}{\Delta x}\\&=&\frac{f(x)g(x)+f(x)D[g(x)]\Delta x + D[f(x)]g(x)\Delta x - f(x)g(x)+D[g(x)]D[f(x)]{\Delta x}^2}{\Delta x}\\&=&\frac{f(x)D[g(x)]\Delta x + D[f(x)]g(x)\Delta x + D[g(x)]D[f(x)]{\Delta x}^2}{\Delta x}\\&=&D[f(x)]g(x)+f(x)D[g(x)]\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}D[\frac{f(x)}{g(x)}]&=&\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}\\&=&\frac{\frac{f(x)+D[f(x)]\Delta x}{g(x)+D[g(x)]\Delta x}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}\\&=&\frac{g(x)(f(x)+D[f(x)]\Delta x)-f(x)(g(x)+D[g(x)]\Delta x)}{(g(x)+D[g(x)]\Delta x)g(x)\Delta x}\\&=&\frac{D[f(x)]g(x)-f(x)D[g(x)]}{g^2(x)+D[g(x)]\Delta x g(x)}\\&=&\frac{D(f(x))g(x)-f(x)D[g(x)]}{g^2(x)}\end{array}$$
設$D[f[g(x)]]$為函數$f$在$g(x)$處的導數，區別於$D[f(g(x))]$,$D[f(g(x))]$為函數$f(g(x))$的導數。
$$\begin{array}{rcl}D[f(g(x))]&=&\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}\\&=&\frac{f(g(x)+\Delta xD[g(x)])-f(g(x))}{\Delta x}\\&=&\frac{f(g(x))+D[f[g(x)]]\Delta xD[g(x)]-f(g(x))}{\Delta x}\\&=&D[f[g(x)]]D[g(x)]\end{array}$$
二、不定積分
就是導數的逆運算。
即對於給定的$f(x)$
如果$F(x)$滿足：
$$D[F(x)]=f(x)$$
求$F(x)$的過程。
常用的是冪函數，如果$f(x)=ax^k$
那么：
$$F(x)=\frac{a}{k+1}x^{k+1}$$
其他的我也不會。
三、定積分
簡單來說定積分用來求一個函數關於某條軸的面積大小。
比如說：
$$\int_a^b f(x)dx$$就是函數$f(x)$關於$x$軸的積分。
我們發現定積分的一些基本運算法則。
$$\int_a^b (f(x)+g(x))dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx$$
$$\int_a^b Cf(x)dx=C\int_a^b f(x)dx$$
$$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$$
$$\int_a^a f(x)dx=0$$
$$\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$$
微積分基本定理：
設$$D[F(x)]=f(x)$$
那么：
$$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)\mid_a^b$$