【知識總結】微積分入門（《微積分的本質》學習筆記）

參考資料：【官方雙語/合集】微積分的本質 - 系列合集 - 3Blue1Brown - bilibili （搭配食用體驗更佳）

這篇文章中有很多內容都推薦用 數形結合 的方法來學習。

導數入門

兩種重要的、針對函數的運算：求導與積分。它們的運算結果也是一個函數。

先說求導。對於函數 \(f(x)\) ，它的 導函數 （即求導運算的結果，簡稱導數）記作 \(f'(x)\) 。簡單來說，\(f'(x_0)\) 就是\(f(x)\) 在 \(x_0\) 這點的切線斜率。即， \(f'(x)\) 是 \(f(x)\) 的切線斜率關於切點橫坐標的函數。

為了方便描述，引入一個表示「微小變化量」（自己起的名字）的符號。以后默認用 \(dx\) 表示變量 \(x\) 的變化量（ \(dy\) 表示變量 \(y\) 的變化量，以此類推），且 \(dx\) 趨近於 \(0\) 。那么對於 \(x_0\) 和它的函數值 \(f(x)=y\) ，設當 \(x\) 增加了 \(dx\) 時 \(y\) 增加了 \(dy\) 。由於這個變化量是「微小」（趨近於 \(0\) ）的，所以 \(x\) 和 \(x+dx\) 之間的函數圖象可以近似成一條直線，它的斜率就是 \(\frac{dy}{dx}\) 。因此，有時也把導函數寫成 \(f'(x)=\frac{dy}{dx}\) 。注意，不同的 \(x\) 會造成 \(dy\) 取不同的值。

有點懵？先從最簡單的例子——一次函數說起。顯然，無論 \(x\) 如何改變，也無論 \(dx\) 取何值（哪怕不趨近於 \(0\) ） ，\(\frac{dy}{dx}\) 都是一個定值，即這個一次函數的斜率 \(k\) （換句話說，這個一次函數處處的切線都與它本身重合）。因此，一次函數的導數是一個常函數 \(f'(x)=k\) 。

再舉一個稍復雜的例子。對於 \(f(x)=x^2\) ，可以這樣求出它的導函數：

\[\begin{aligned} f'(x)&=\frac{dy}{dx}\\ &=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\\ &=\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}\\ &=\frac{2dx\cdot x+dx^2}{dx}\\ &=2x+dx\end{aligned}\]

由於 \(dx\) 趨近於 \(0\) ，所以 \(f'(x)=2x\) 。於是我們成功算出了 \(f(x)=x^2\) 的導數是 \(f'(x)=2x\) 。 鼓掌！

不妨再拓展一下，證明 \(f(x)=x^k\) 的導數是 \(f'(x)=kx^{k-1}\) 。做法和剛才類似（其中用了一次二項式定理）：

\[\begin{aligned} f'(x_0)&=\frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx}\\ &=\frac{(x_0+dx)^k-x_0^k}{dx}\\ &=\frac{\sum_{i=0}^{k}C_k^ix_0^idx^{k-i}-x_0^k}{dx}\\ &=\frac{\sum_{i=0}^{k-1}C_k^ix_0^idx^{k-i}}{dx}\\ &=\sum_{i=0}^{k-1}C_k^ix_0^idx^{k-i-1} \end{aligned}\]

到這里似乎不知道怎么辦了？別忘了 \(dx\) 趨近於 \(0\) ，所以只有 \(k-i-1=0\) 即 \(i=k-1\) 這一項是非 \(0\) 的！激動.jpg 。所以，\(f'(x_0)=kx_0^{k-1}\) 。\(x_0\) 是任意的，所以 \(f'(x)=kx^{k-1}\) 。

導數的運算

導數的加減

\[h(x)=f(x)+g(x),h'(x)=f'(x)+g'(x) \]

設 \(y_f=f(x)\) ，\(y_g=g(x)\) ，\(y_h=h(x)\) （類似的記號下面不再贅述） ，同時別忘了 \(f'(x)=\frac{dy_f}{dx}\) ， \(g'(x)=\frac{dy_g}{dx}\) ，則有：

\[\because y_h=y_f+y_g,(y_h+dy_h)=(y_f+dy_f)+(y_g+dy_g)\]

\[\begin{aligned}\therefore dy_h&=dy_f+dy_g\\ &=f'(x)dx+g'(x)dx\\ &=(f'(x)+g'(x))dx\end{aligned}\]

兩邊同時除以 \(dx\) ，得到 \(h'(x)=\frac{dy_h}{dx}=f'(x)+g'(x)\) 。

導數的乘法

\[h(x)=f(x)g(x),h'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x) \]

口訣：「左乘右導，右乘左導」（來自文首的視頻）

證明如下：

\[\because y_h=y_f\cdot y_g,(y_h+dy_h)=(y_f+dy_f)\cdot(y_g+dy_g)\]

\[\begin{aligned}\therefore dy_h&=y_f\cdot y_g+y_f\cdot dy_g + y_g \cdot dy_f+dy_f\cdot dy_g-y_h\\ &=y_f\cdot dy_g + y_g \cdot dy_f+dy_f\cdot dy_g\\ &=f(x)\cdot g'(x)dx+g(x)\cdot f'(x)dx+f'(x)dx\cdot g'(x)dx\\ \end{aligned}\]

兩邊同時除以 \(dx\) 得：

\[h'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)+f'(x)g'(x)dx \]

同樣，帶 \(dx\) 的項趨近於 \(0\) ，因此 \(h'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\) 。

鏈式法則

若 \(h(x)=f(g(x))\) ，則 \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\) 。

這個證明口胡一發吧，我實在不知道怎么表述了 ……

當自變量從 \(x_0\) 變成 \(x_0+dx\) ，則 \(y_f\) 的變化量是 \(f'(x_0)dx\) 。現在，\(g\) 的自變量的變化量是 \(dx\) ，\(y_g\) 的變化量是 \(g'(x)dx\) ，所以 \(y_f\) 的變化量是 \(f'(g(x))\cdot g'(x)dx\) （注意 \(f\) 的自變量的初值是 \(g(x)\) 不是 \(x\) ）。因此 \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\) 。

導數的除法

若 \(h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\) ，則 \(h'(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\)

證明：

\[\because y_h=\frac{y_f}{y_g},(y_h+dy_h)=\frac{y_f+dy_f}{y_g+dy_g} \]

\[\begin{aligned} \therefore dy_h&=\frac{y_f+dy_f}{y_g+dy_g}-\frac{y_f}{y_g}\\ &=\frac{y_g(y_f+dy_f)-y_f(y_g+dy_g)}{y_g(y_g+dy_g)}\\ &=\frac{g(x)f(x)+g(x)f'(x)dx-f(x)g(x)-f(x)g'(x)dx}{g(x)^2+g(x)g'(x)dx}\\ &=\frac{g(x)f'(x)dx-f(x)g'(x)dx}{g(x)^2+g(x)g'(x)dx}\\ \end{aligned}\]

兩邊同時除以 \(x\) ，得到：

\[h'(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2+g(x)g'(x)dx} \]

由於 \(dx\) 趨於 \(0\) ，所以：

\[h'(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} \]

常見函數的導數

（NOI 前臨時抱佛腳用的，想到再補充）

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
\(a\)	\(0\)
\(x^k\)	\(kx^{k-1}\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(\ln(x)\)	\(\frac{1}{x}\)
\(\sin(x)\)	\(\cos(x)\)
\(\cos(x)\)	\(-\sin(x)\)