不會這東西啥也學不動啊……
前言
懶得像線代寫那么詳細了，這這篇確保自己幾個重要公式和定義掌握了
符號定義：\(d\)+某個變量表示某個變量的極小的一點變化
\(upd\):終於不用當做觀影總結啦！留個坑，過兩天把秦神課件上的內容補上
導數
導數形式
對於任意函數\(f(x)\)，它的導數\(f'(x)\)為\(\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\)
導數定義
導數在有些人的理解中可能會被概括為：某個函數的瞬時變化率
這個概括的確可以幫助人理解，但是瞬時有變化嗎？這顯然是矛盾的
那么導數究竟是什么？
我們考慮一個實際例子：汽車在行駛過程中的測速儀是如何測出當前時刻的速度的？
測速儀會顯示出汽車在很短的時間內移動的距離，再除以這段很短的時間，將得到的答案近似為當前時間的速度
對測速儀來說，它繞開瞬時變化率，轉而研究很短一段時間內的變化率解決了這個問題
回到導數上來，我們對汽車建立一個數學模型：\(s(t)\)為汽車\(t\)時刻內走過的位移
那么\(s(t)\)的導數可以表示為\(\frac{ds}{dt}(t)\)，即穿過這條函數上\(s(t)\)和\(s(t+dt)\)兩點直線的斜率
當\(dt\)越來越趨近於\(0\)，那么這兩個也越來越近，直線越來越逼近在\(t\)點時圖像的切線
所以導數在數學上的含義是：經過圖像上某一點的切線
但是瞬時變化率是沒有意義的，我們應該把導數的實際含義看作“某一點附近的變化率的最佳近似”
這段貌似有點矯情，不理解也不妨礙看下面的內容或者做題
代數求導
考慮對\(f(x)=x^3\)求導數
\(f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=\frac{(x+dx)^3-x^3}{dx}=\frac{x^3+3x^2(dx)+3x(dx^{2})+dx^3-x^3}{dx}=\frac{3x^2(dx)+3x(dx^{2})+dx^3}{dx}=3x^2+3x(dx)+dx^2\)
當\(dx\)逼近\(0\)時，含\(dx\)的項可以忽略，所以最終\(f'(x)=3x^2\)
幾何求導
我們可以把\(f(x)=x^2\)看作求一個邊長為\(x\)的正方形的面積，那么假設正方形的邊長增加了一個\(dx\)，面積的增加量應該為\(2x(dx)+dx^2\)，寫成導數形式即為\(\frac{df}{dx}=2x+dx=2x\)
冪函數求導
對於任意冪函數\(f(x)=x^n\)，有\(f'(x)=nx^{n-1}\)
直觀解釋:
設\(f(x)=x^n\)，那么\(f(x+dx)=(x+dx)^n\)，展開后面會得到\(x^n+n(x^{n-1})dx+……\)
為什么后面我不寫了？因為在求導的時候后面的項仍然會保留至少一個\(dx\)，會被忽略掉
而\(x^n\)會被減掉，所以\(f'(x)=nx^{n-1}\)
組合函數求導
函數相加
\(\frac{d}{dx}(g(x)+h(x))=\frac{dg}{dx}+\frac{dh}{dx}\)
證明：
\(\frac{d}{dx}(g(x)+h(x))=\frac{g(x+dx)-g(x)+h(x+dx)-h(x)}{dx}=\frac{g(x+dx)-g(x)}{dx}+\frac{h(x+dx)-h(x)}{dx}=\frac{dg}{dx}+\frac{dh}{dx}\)
函數乘積
舉個例子：\(f(x)=sin(x)x^2\)
這東西代數上不好看，我們考慮用幾何求導
\(f(x)\)表示的幾何意義即為邊長為\(sin(x)\)和\(x^2\)的矩形的面積
仍然考慮一點微小的變化\(dx\)
矩形面積將改變
\(sin(x)*((x+dx)^2-x^2) + x^2*(sin(x+dx)-sin(x)) + ((x+dx)^2-x^2)*(sin(x+dx)-sin(x))\)
容易發現最后這一項與\(dx^2\)成正比，忽略掉
那么\(df=sin(x)d(x^2)+x^2d(sin(x))\)
把后面的改變量計算出來得
\(df=sin(x)2xdx+x^2cos(x)dx\)
\(\frac{df}{dx}=sin(x)2x+x^2cos(x)\)
仔細觀察我們可以得出一個更一般的結論
\(f(x)=g(x)h(x)\)
\(f'(x)=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\)
我們稱之為左乘右導，右乘左導
復合函數
一般可以寫成\(g(h(x))\)
例如\(g(x)=sin(x),h(x)=x^2\)，則\(g(h(x))=sin(x^2)\)
對於復合函數我們需要一步一步分析
先考慮一個\(dx\)對最內層\(h(x)\)的影響，這個我們應該很熟悉，我們會得到一個\(dh\)，再用\(dh\)改變\(g(x)\)，但是我們展開的過程應該是從外向內展開
就以上面的函數為例，當我們取\(dx\)時，\(d(sin(x^2))=cos(x^2)d(x^2)=cos(x^2)2xdx\)
歸納一個更一般的結論:\(\frac{d}{dx}g(h(x))=\frac{dg}{dh}(h(x))\frac{dh}{dx}(x)\)
注意等式右邊的第一項分母是\(dh\)而不是\(dx\)，因為它的內層函數的變化量
這個結論叫做鏈式法則
只要一直套用上面的形式，鏈式法則可以無限長，如果你有耐心解
指數函數求導
我們來看一個常見的指數函數\(f(x)=2^x\)
無腦地用\(dx\)求導：\(f'(x)=2^x\frac{2^{dx}-1}{dx}\)
當\(dx\)無限逼近於\(0\)時，可以得到后面這一項約等於\(0.6931……\)
我們發現指數函數的導數就是它本身乘以了一個奇怪的常數，雖然我們也不知道這個常數是怎么來的
如果我們多實驗幾個，會發現\(f(x)=8^x\)時，\(f'(x)≈8^x*(2.0794……)\)
如果你細心可能會發現\(8=2^3,0.2794≈3*0.6931\)
為啥？憑啥？
我們先放在一邊，這個時候我們應該有一個全新的疑惑：有沒有一個數的指數函數令這個常數等於\(1\)？
當然有，它就是\(e\)，對於\(f(x)=e^x,f'(x)=e^x\)
為什么，是巧合嗎？
因為這本身就是人家的定義啊……
通過\(e\)，也許我們能解決那些迷之常數和\(2,8\)之間迷之倍數的關系
如果\(f(x)=e^{ct}\)，根據鏈式法則\(f'(x)=ce^{ct}\)
那么\(2^x=(e^{ln(2)})^x=e^{ln(2)x}\)，其導數為\(ln(2)e^{ln(2)x}=ln(2)2^x\)
同理\(f(x)=8^x,f'(x)=ln(8)8^x\)
根據初中姿勢：\(ln(8)=3ln(2)\)
就都可以解釋辣
隱函數求導
這玩意真**玄學啊……
隱函數
一般來說我們初中學的函數定義是：給定一個\(x\)，能唯一確定一個\(y\)值的變換法則
但是我們學到的有些東西顯然不滿足這個性質，比如圓的方程
但是它們好像又很特殊，不同與一般的變換
如果一個變換在它的定義域上存在一個子集\(D\)，使得每個\(x\in D\)，存在相應的\(y\)使得\(F(x,y)=0\)，則稱方程確定了一個隱函數
顯然圓的方程確定了一個隱函數
那么比如說我們有\(x^2+y^2=3^2\)，我們怎么求出一個圓上某一點的斜率\(\frac{dy}{dx}\)？
當然我們可以大力化式子：
\(y=\sqrt{3^2-x^2}\)
然后無腦鏈式法則
不過還可以稍微變化一下思路，考慮將\(x^2\)寫作\(x(\theta)^2,y^2\)寫作\(y(\theta)^2\)，然后對兩邊分別求導
\(2x(\theta)\frac{dx}{d\theta}+2y(\theta)\frac{dy}{d\theta}=0\)
我們對兩邊分別乘以\(d\theta\)得到
\(2xdx+2ydy=0\)
化簡得\(\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)
感覺這玩意\(OI\)中不會再拓展了，溜了溜了
極限
導數的正式定義
我們一般考慮導數時的操作是：選一個極小量\(dx\)，然后計算\(\frac{df}{dx}\)
實際上，當\(dx\)無限逼近\(0\)時它才是真正的導數
寫作\(\frac{df}{dx}=\lim\limits_{h→0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
這里右邊不用\(dx\)是因為在極限中一般不含帶\(d\)的字母，我們認為\(d\)內置了極限的思想
右邊這個形式就是導數的正式定義
\(upd：\)這里的\(h\)應該看作一個有限小的變化量，而非無窮小，我們只需要考慮它逼近於\(0\)的情況
極限的ε-δ定義
考慮一個函數\(f(x)=\frac{(2+x)^3-2^3}{x}\)
我們可以發現這個函數的定義域並不連續，當\(x=0\)的時候，函數變為了\(\frac{0}{0}\)
但是當\(x\)無限逼近於\(0\)的時候，它仍然是有定義的，這個比值的極限是\(12\)
那有人會發問：這個逼近到底是什么意思？
可以發現在上面的曲線中，對於\(x=0\)附近的點，它們的取值都在\(12\)附近，而且不斷縮小\(x\)的取值范圍，函數值的范圍越來越逼近\(12\)，且這個范圍可以無限小
反例：
這個函數在\(x=0\)的時候同樣沒有定義
但是在\(x\)逼近於\(0\)的時候，它的取值不確定，也許是\(2\)，也許是\(-2\)，我們稱它極限不存在
這就是極限的\(ε-δ\)定義
我們用\(δ\)表示自變量取值的范圍，\(ε\)表示函數在值域上的范圍，這段距離可以無限小
極限存在的前提就是：總能在極限點附近某一\(δ\)范圍內找到一系列取值點使得范圍內任意取值點都處在某一數值的\(ε\)范圍之內，且這種情況對任意\(ε\)成立
如第二張圖中，若我們取\(ε\)為\(1\)，則不存在\(δ\)滿足要求
洛必達法則
對於某個極限點，我們知道直接代入這個點會得到\(\frac{0}{0}\)，如果我們要確定這個極限點的取值該怎么辦？
我們假設某個函數為\(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\)，它存在某個點\(a\)使得\(g(a)=0,h(a)=0\)
我們可以考慮，用導數的反求極限
我們把\(g(x)\)和\(h(x)\)分開了考慮，則這兩個函數在\(a\)點處的取值都為\(0\)
那么也就是說，在\(a\)點附近很小的一段區域內，函數的導數乘以變化量就約等於函數的取值
即\(g(a+dx)=\frac{dg}{dx}(a)dx\)，當\(dx\)約逼近於\(0\)取值越精准
則\(\lim\limits_{x→a}\frac{g(a)}{h(a)}=\frac{\frac{dg}{dx}(a)dx}{\frac{dh}{dx}(a)dx}\)
消掉\(dx\)得到
\(\lim\limits_{x→a}f(a)=\frac{\frac{dg}{dx}(a)}{\frac{dh}{dx}(a)}\)
這個叫做洛必達法則
簡單說，如果\(g(a)=0,h(a)=0\)，那么\(\lim\limits_{x→a}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim\limits_{x→a}\frac{g'(x)}{h'(x)}\)
\(ps：\)洛必達法則是洛必達向伯努利買來的
積分
積分
我們仍然考慮一個開車小汽車的問題：
給定小汽車的時間-速度函數\(v(t)\)，如何求出小汽車的時間-位移函數\(s(t)\)？
其實我們問題就是求，什么函數的導數為\(v(t)\)
這類問題通常被稱為求函數的原函數（反導數）
對於求曲線下面積的問題，通常手法是將曲線分解成許多個寬度極小的矩形，然后求這些矩陣面積的和
矩形的寬度越小，答案越精准，當寬度無限逼近於\(0\)時，得到的結果就是正確答案
我們用\(\int_{x}^{y}\)來表示\([x,y]\)區間內所有點表達式的和
如果要求\(T\)時刻內汽車走過的距離，我們可以寫成 \(\int_{0}^{T}v(t)dt\)，我們稱之為\(v(t)\)的積分
為什么我們不用\(\sum\)呢？因為我們所表達的意思不是實際上的加和，而是\(dt\)在趨近於\(0\)時，加和趨近於的值
微積分基本定理
在解積分是過程中，我們可以通過導數來推出原函數，但是並不能推出原函數的常數
如果你想問咋求原函數的其他項：靠猜
因為常數項求導之后會消失
其實我們求一段面積沒必要知道常數項具體是多少
仍然拿上面的小車舉例子，有\(\int_{x}^{y}v(t)dt=s(y)-s(x)\)
常數項自然會被抵消掉
\(\int_{x}^{y}f(x)dx=F(x)-F(y)\)被稱作微積分基本定理
泰勒級數
泰勒級數
如果一個函數\(f(x)\)在\(x=x_0\)處具有任意階導數
則\(f(x)\)在點\(x_0\)處的泰勒級數為\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)
同時這也是函數在\(x_0\)處的最佳近似多項式
泰勒級數收斂到\(f(x_0)\)，泰勒級數能讓多項式和收斂的最大范圍叫做泰勒級數的收斂半徑
頹了，不想解釋泰勒級數了，就說一句吧：
每增加一項，就會讓\(x0\)點附近的曲線變化率更接近原函數