再學微積分
初入微積分:不定積分
定義:不定積分是求導運算和微分運算不完全的逆運算。也是一種非構造的運算。
- 為什么是它是它的逆運算？
- 為什么說是不完全的逆運算？
- 為什么說它是非構造的運算？
\[F'(x)=f(x)\\ dF(x)=f(x)dx\\ \int f(x)dx=F(x)+C \]
所以,稱它是它的逆運算。
\(證明:為什么f(x)的原函數是且僅是F(x)+C?\)
\(假設f(x)的原函數不止一個,設F(x)是其中的特定的某一個。\)
\(G(x)代表其中的任意一個。則,根據原函數的定義,有:\)
\(F'(x)=f(x),且G'(x)=f(x),則有:h(x)=G'(x)-F'(x)=0。\)
\(所以,只要F(x)是f(x)的一個原函數,任意的一個原函數都可以被表示為:\)
\(F(x)+C,所以f(x)的原函數是且僅是F(x)+C\)
假設不定積分和求導,微分在兩個空間之間建立起了聯系,那么,假設運算從求導,微分開始:
解空間\(C1\)對應的解空間\(C2\)所對應的解空間不是\(C1\)。實際上\(C2\)是\(C1\)的父集。
故稱它們是一對不完全的逆運算。
任何一個特定的不定積分的求解空間\(Y2\)是所有不定積分的求解空間的合空間\(Y1\)的一個很小的子集。
所以說它是非構造的運算。
基本的不定積分公式
\[\int 0dx=C\\ \int 1dx=\int d x=x+C \\ \int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C (a\not =-1)\\ \int x^{-1}dx= ln |x|+C\\ \int a^x dx= \frac{a^x}{ln a}+C\\ \int e^xdx= e^x+C\\ \int cos xdx= sin x+C\\ \int sin xdx= -cos x+C\\ \int sec^2xdx= tanx +C\\ \int csc^2dx= -cot x+C\\ \int sec x tan xdx=sec x +C\\ \int csc x cot xdx=-csc x +C\\ \int \frac{1}{1+x^2}dx= arctan x+C=-arccot x+C1\\ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsin x +C=-arccos x+C1 \]
不定積分的四大法寶
1. 不定積分的線性運算法則
\[若\int f(x)dx,\int g(x)dx均存在\\ {\forall}\alpha,\beta(不同時為零)\\ 則:\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx \]
例題1
\[求\int tan^2xdx\\ \int tan^2xdx=\int (sec^2x-1)dx=\int sec^2 xdx-\int dx \]
例題2
\[求\int \frac{1}{sin^2xcos^2}\\ \int \frac{1}{sin^2xcos^2}=\int \frac{sin^2x+cos^2}{sin^2xcos^2}=\int (sec^2x+csc^2x)dx \]
例題3
\[求\int \frac{x^4}{x^2+1}dx\\ \int \frac{x^4}{x^2+1}dx=\int \frac{x^4-1+1}{x^2+1}dx=\int (x^2-1+\frac{1}{x^2+1})dx \]
2. 不定積分的湊微分(第一換元法)
定義:在保持被積表達式的值不變時,於內部進行微分運算,以同時改變被積函數和積分變量,在整體上達到被積表達式形式的改變,以使其形式更加便於求解。
例題1
\[求\int tan xdx\\ \int tan xdx=-\int \frac{1}{cos x}dcosx =-ln|cosx|+C\\ (\int cot x dx=ln|sinx|+C) \]
記住一些微分關系式
\[a*dx=d(ax+b)\\ 2x*dx=d(x^2 \pm a^2)\\ -2x*dx=d(a^2 - x^2)\\ cos xdx=dsinx\\ sinxdx=-dcosx\\ \frac{1}{x}dx=d|lnx|\\ e^xdx=de^x \]
例題2
\[求\int \frac{1}{a^2+x^2}dx(a \not =0)\\ \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a^2}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}d(\frac{x}{a})\\ =\frac{1}{a}arctan \frac{x}{a}+C \]
例題3
\[求\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx(a>0)\\ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}d(\frac{x}{a})\\ =arcsin \frac{x}{a}+C \]
例題4
\[求\int \frac{1}{a^2-x^2}dx(a \not =0)\\ \int \frac{1}{a^2-x^2}dx(a \not =0)=\int \frac{1}{(a-x)(a+x)}dx=\frac{1}{2a}\int (\frac{1}{a-x}-\frac{1}{a+x})dx\\=\frac{1}{2a}\int (\frac{1}{a-x}-\frac{1}{a+x})dx=\frac{1}{2a}[\int \frac{1}{a-x}dx- \int \frac{1}{a+x}dx] \\ =\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}| +C\]
例題5
\[求\int secxdx\\ \int secx dx=\int \frac{1}{1-sinx^2}dsinx\\ =ln|secx+tanx|+C\\ (\int csc x dx=ln|cscx-cotx|+C) \]
另解:
\[求\int secxdx\\ \int secxdx=\int \frac{secx(secx+tanx)}{secx+tanx}dx=\int \frac{1}{secx+tanx}d(secx+tanx)\\ =ln|secx+tanx|+C \]
例題6
\[求\int e^{ax}\\ \int e^{ax}=\frac{1}{a}\int e^{ax}d(ax)\\ =\frac{1}{a}e^{ax}+C\\ (\int cosaxdx=\frac{1}{a}sinax+C)\\ (\int sinaxdx=-\frac{1}{a}cosax+C) \]
3. 不定積分的變量代換(第二換元法)
定義:創建一個新的變元,並使其與x建立函數關系(這個函數被要求是可導並且嚴格單調的),而代替入被積表達式之中,以此使得被積表達式的形式發生變化,以使其形式更加便於求解
記憶一些常用的代換
-
\[\sqrt{a^2-x^2} ,令x=asint,t \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \]
-
\[\sqrt{a^2+x^2} ,令x=atant,t \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \]
-
\[\sqrt{x^2-a^2} ,令x=asect,t \in [0,\frac{\pi}{2}]\cup [\frac{\pi}{2},\pi] \]
-
\[\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} ,令\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t \]
-
\[\sqrt[n]{ax+b} ,令\sqrt[n]{ax+b}=t \]
例題1
\[求\int \sqrt{a^2-x^2}dx\\ 令x=asint\\ \int \sqrt{a^2-x^2}=\int \sqrt{a^2-a^2sin^2t} acost dt=a^2\int |cost|costdt \\ =a^2\int cos^2tdt=\frac{a^2}{2}\int (1+cos2t)tdt=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}sin2t+C\\ =\frac{a^2}{2}arcsin \frac{x}{a}+ \frac{a^2}{2}sintcost+C \]
\[再根據上面的三角形法則,\\ =\frac{a^2}{2}arcsin \frac{x}{a}+ \frac{a^2}{2}* \frac{x}{a} \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}+C=\frac{a^2}{2}* \frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C \]
例題2
\[求\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx(a>0)\\ 令x=atant\\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int \frac{asec^2}{a^2tan^2t+a^2}dt\\ =\int sectdt=ln|sect+tant|+C\\ 再次運用三角形法則。此處省略。\\ =ln|x+ \sqrt{x^2+a^2}|+C\\ (同理:\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln|x+ \sqrt{x^2-a^2}|+C)(涉及到絕對值問題) \]
例題3
\[求\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}dx\\ 令 \sqrt[6]{x}=t\\ \int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}dx=\int \frac{6t^5}{t^3+t^2}dt=6 \int \frac{t^3+1-1}{t+1}dt\\ =6 \int (t^2-t+1+ \frac{1}{t+1})dx=6(\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{2}t^2-ln(1+t))+C=... \]
例題4
\[求\int \frac{x^2}{(2x+1)^{10}}dx\\ 令(2x+1)=t\\ \int \frac{x^2}{(2x+1)^{10}}dx=\frac{1}{8}\int \frac{t^2-2t+1}{t^10}=... \]
3. 分部積分
定義:將被積函數分為相乘的兩個部分,\(C1(x)\)和\(C2(x)\)。對其中容易求導的一個求導,容易求原函數的求原函數,設其分別為\(L1(x)\)和\(L2(x)\)。將被積函數化為\(g(x)=L1(x)\times L2(x)dx\),有\(\int f(x)dx+\int g(x)dx=C1(x)\times L2(x)dx\),編成一句口訣就是:"求原的真的求原了,求導的並不是真的求導"。
\[原理:\int udv=uv-\int vdu \]
證明:
\[(uv)'=u'v+uv'\\ \int (uv)'dx=\int u'vdx+\int uv'dx\\ uv=\int vdu+\int udv\\ (也可以使用微分證明) \]
例題1
\[求\int xe^xdx\\ \int xe^xdx+\int e^xdx=xe^x\\ \int xe^xdx=xe^x-e^x+C \]
記憶一些常見的分步積分情況
- \(L1(x)=P_k(x),L2(x)=e^{ax}(需要k次不定積分)\)
- \(L1(x)=P_k(x),L2(x)=cosax(需要k次不定積分)\)
- \(L1(x)=P_k(x),L2(x)=sinax(需要k次不定積分)\)
- \(L1(x)=h(arc...x),L2(x)=P(x)(能湊出darc...x則先湊)\)
- \(L1(x)=h(lnx),L2(x)=P(x)(能湊出dlnx則先湊)\)
例題2
\[求\int (1+x^2)cos2xdx\\ \int (1+x^2)cos2xdx+\int (2x)( \frac{sin2x}{2})=(1+x^2)( \frac{sin2x}{2})\\ \int xsinx+\int1*(-cosx)=x(-cosx)\\ \]
例題3
\[求\int \frac{arctanx}{1+x^2}dx\\ \int \frac{arctanx}{1+x^2}dx=\int arctanxdarctanx\\ =\frac{1}{2}(arctanx)^2+C\]
例題4
\[求\int arctan xdx\\ \int arctan xdx+\int x(\frac{1}{1+x^2})=xarctanx\\ \int arctan xdx=xarctanx-\frac{1}{2}ln(1+x^2)+C \]
例題
\[求\int \frac{arctanx}{x^2(1+x^2)}dx\\ \int \frac{arctanx}{x^2(1+x^2)dx}=\int (\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2})arctanxdx\\ =\int (\frac{1}{x^2})arctanxdx-\int \frac{arctanx}{1+x^2}dx\\ \begin{cases} \int (\frac{1}{x^2})arctanxdx+\int (-\frac{1}{x})(\frac{1}{1+x^2})=(-\frac{1}{x})arctanx \\ \int \frac{arctanx}{1+x^2}dx=\int arctanxdarctanx \end{cases}\\ 且又有:\int (\frac{1}{x})(\frac{1}{1+x^2})dx=\int (\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2})dx\\ \int \frac{arctanx}{x^2(1+x^2)}dx=... \]