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要了解微積分的本質，我們從一個大家都知道的公式說起。這個公式就是求圓的面積公式：A=πr²
我們將用微積分的方式來推導這個公式，在這個過程中，我們將利用到微分，積分，和兩者的互逆
首先我們先將一個圓如下圖切分成數個圓環。我們獲得每個圓環的面積，然后將他們相加不就得到圓的面積了。
所以我們以相同的距離dr將圓切分成若干個同心圓環。
比如圓環的半徑是3，dr取0.1 那么我們就將一個圓換分成了30個寬度都是0.1的同心圓環：
每一個圓環拉直會得到一個新的形狀，我們將這個形狀近似看做一個矩形
那么這個矩形的面積就是這個圓環的周長乘以dr，圓環的周長為圓環到圓心的距離*2π
那么每個圓環的近似面積面積就為：2πr*dr(這里的r是每個圓環到圓心的距離)
你會發現我們的dr 取值越小，那么我們計算出來的圓的面積也就越精確。
現在如果我們把所有近似矩從小到大一個接一個的排列在一起，我們會有一些全新的發現：
注意，為了方便觀察我們y軸與x軸的比例為5：1
現在我們去的dr是0.1，而我們取的dr值越小，獲得的圓環的數量就越多，而這些圓環的近似矩形面積相加起來的面積就靠近原來的圓的面積。
若是無限多個圓環，那么我們獲得的近似值越來越靠近真實值。
可是我們取的圓環越多，那么計算量不就越大，無限多的就代表根本沒法計算。
但注意，當dr取值無限小的時候，我們將所有圓環的面積加起來與下圖三角形的面積是相同的。
這個三角形的底是3 而高最大圓環的周長，也就是圓的周長：2π*3
如果圓的半徑是r，那么它對應的三角形就是一個底為r，高為2π*r的三角形。根據三角形面積公式，我們得到
圓的面積為：πr²
對於數學家來說，你不光要找到答案，你還想要能發展處解決一般問題的工具和技巧
我們回想一下剛剛發生了什么。為什么這樣做是可行的。這個從近似值到精確值的過程，通過這個過程，我們可以了解微積分的本質。
最開我們將問題化解為許多微小值的和，來獲得一個近似的結果。
首先我們取每間隔dr值，取一個圓環。我們將一個圓換分成若干個小圓環，將其近似看成若干個矩形，我們就能獲得近似的圓形面積。
這里的dr 不僅是圓環的寬度，也是每個圓環半徑的間距。
我們將這個這個dr越縮小，dr值取的越小，所有矩形相加的面積就越接近於一個三角形的面積。
我們可以得出結論，原來的原型的面積恰好就是這個三角形的面積。
注意此時已經不是近似值，而是完全准確。
用這種方法，我們還可以解決一些其他的問題。
下一小節，我們看看這個方法是如何在其他問題上應用的。