單變量微積分筆記13——定積分

　　定積分是積分的一種，是函數f(x)在區間[a,b]上的積分和的極限。這里應注意定積分與不定積分之間的關系：若定積分存在，則它是一個具體的數值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個函數表達式，它們僅僅在數學上有一個計算關系（牛頓-萊布尼茨公式），其它一點關系都沒有！一個函數，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函數，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函數一定不存在，即不定積分一定不存在。

什么是定積分

　　有一塊形狀不規則的土地，要測量它的面積，怎么辦呢？

 

　　這意味着我們要求解曲線下的面積，該面積從a開始，到b結束，用 表示，這就是定積分。對比不定積分，發現定積分有起點和終點。不定積分是已知導數求原函數，定積分就是求函數f(X)在區間[a,b]中的圖像包圍的面積。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積。

黎曼和

　　如何求解曲線下的面積呢？為了簡化問題，我們假設f(x) = x²，這是一個較為簡單的曲線，同時設a = 0， b = 1：

　　分為三步計算面積：

1. 首先把陰影部分卻成一系列等寬的矩形；
2. 把這些矩形的面積加起來：
3. 修正之前的算法。

　　如下圖所示：

將面積分為成一系列矩形

　　我們看到，每個矩形都可能超出或小於實際面積，所謂“修正之前的算法”，是修正矩形增加或減少的面積，具體做法是通過讓矩形變窄來取得極限值，如下圖所示：

矩形變窄

變得更窄的矩形

　　矩形越窄，就越接近實際面積。

　　當矩形寬度很小時，把所有矩型面積加起來就是這塊不規則圖形的面積，這就是著名的“黎曼和”。矩形寬度趨於0時，即為面積微分；各個面積求和取極限即為定積分。雖然牛頓時代就給出了定積分的定義，但是定積分的現代數學定義卻是用黎曼和的極限給出。

　　就上圖而言，f(x) = x²，a = 0，把ab分為n份：

　　曲線下的面積之和就是當n→∞時的矩形面積之和。現在的問題是如何求得(1²+2²+3²+...+n²)/n³。

　　這需要一點技巧，用作圖法求解。

　　想象一下金字塔，每一層都是有若干塊磚頭堆砌而成，其模型如下：

　　垂直切割面如下面兩圖所示：

圖1 三角形面積大於金字塔面積

圖2 三角形面積小於金字塔面積

　　由此可以將問題轉換為求金字塔的體積。

面積的示例

三角形的面積

　　f(x) = x，求陰影部分三角形面積。

長方形的面積

　　f(x) = 1，求陰影部分長方形的面積。

定積分的公式

　　結合上面的例子，設Δx = (b - a)/n，給出定積分公式：

　　可以得到下面的表格：

　　可以大膽地猜測，

示例

　　估算f(x) = x3在[-1, 3]上的定積分。

　　設Δx = 1，

 總結

1. 定積分就是求函數f(X)在區間[a,b]中的圖像包圍的面積。
2. 當矩形面積很小時，把所有矩型面積加起來就是這塊不規則圖形的面積，這就是著名的“黎曼和”。
3. 定積分公式：

 

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