均值
均值與定積分的關系
在數學筆記14——微積分第一基本定理中曾介紹過定積分與均值關系，如果y = f(x)，則當n→∞時：
用定積分的幾何意義解釋這個等式，如下圖所示：
如果a = x0 < x1 < x2 < x3 < ……< xn = b，我們得到 y1 = f(x1), y2 = f(x2) …… yn = f(xn). Δx = (b – a)/n，那么當Δx→0時，面積就是：
進一步，兩邊同時除以b – a，相當於得到每個小矩形的面積：
結合本節最開始的公式：
所以Δx→0等同於n→∞
現在看來均值和積分有着密切關系，將定積分除以積分的區間長度就是均值。
常數的均值
我們知道常數的均值就是常數本身，現在用積分去解釋，得到：
所以Avg(C) = C，積分更好地解釋了均值這個概念。
示例
計算點在單位半圓上的點平均高度
用定積分去解釋，小矩形的寬度是dx，高度就是y，如下圖所示：
單位圓的曲線是x2 + y2 = 1，由此便可計算均值：
我們可以直接求得半圓的面積而不必費力計算定積分。所以點的平均高度是π/4，附帶的結論是，π/2的幾何意義是單位半圓的面積，用積分解釋就是
均值的不同答案
均值的一個重要特征：對誰計算均值？對於不同的變量，將會得到不同的答案。
還是計算點在單位半圓上的點平均高度，這次我們使用弧長來計算，如下圖所示：
設弧長為θ，dθ是半圓的1/n，dθ在x軸的投影是dx，然而dx並不是直徑的1/n——在(0,1)點，dx和dθ接近；越靠近(1,0)點，dθ對應的dx越短。
在單位圓中，弧長等於半徑夾角，半徑上點的高度就是y = sinθ，如下圖所示：
已知上圖θ的取值范圍是[0, π]，則對於弧長，半徑上點的均值是：
看來今后在說均值時還需要加上前提條件，說明就什么而言計算的均值。
權重
權重與加權平均
在實際應用中，數值往往帶有權重，這就要求計算均值時將權重也考慮進去。
對於f(x)，如果每個x對應的權重是w(x)，均值公式就變成了：
根據該公式，常數的均值依然是常數：
從一個實際例子中能更好地解釋公式：如果我分別以10元，20元，30元的價格買過同一支股票，平均購買的價格是多少？
直接用(10 + 20 + 30)/3計算是不對的，想要求得平均價格，還必須知道每次購入了多少股。現在設每次購入w1, w2, w3股，那么均值就是：(10 w1 + 20w2 + 30w3)/( w1 + w2 + w3)，這是對離散值的處理，對於連續值就可以使用定積分的加權平均值公式。
示例
如下圖所示，有一個由y = x2旋轉而成的坩堝，高度是1m，口寬2m。鍋中盛滿水后熱一段時間后，鍋底溫度是100℃，水面溫度是70℃，現假設溫度的函數是T = 100 – 30y，那么此時整鍋水的能量是多少？能量 = 體積×溫度
由於鍋是圓弧形，越往上裝的水越多，對整體結果的影響就越大，這實際上是將容積看成對於溫度的權重。可以使用圓盤法求解該問題，這樣每個圓盤切片對應的溫度就是一個定值，如下圖所示：
圓盤的體積是πx2dy，能量是Tπx2dy，這樣整體的能量就是：
還可以根據總能量除以容積求出平均溫度：
概率
用定積分解釋概率
如下圖所示，曲線與x軸所圍圖形中的一個隨機點，落在 x > 1/2處的概率？
概率問題就是面積問題，因此：
用微積分解釋概率的一般公式：
其中w(x)是事件x的權重，在上例中，w(x) = 1 – x2
示例
我最近在練習投擲飛鏢，並且技術不錯。現在我用一個帶立柱的靶練習，每次都站在固定的位置聯系。假設我的命中次數與靶心距離呈正態分布，靶子的半徑是r米，立柱的高度是h米，寬度是w米，那么我命中立柱的概率是多少？命中次數與半徑的關系：
這是典型的加權概率問題，權重就是正態分布函數：
現在將立柱繞靶子外檐環繞一周，形成一個圓環，我們需要做的首先是計算出圓環的命中率，然后用立柱的面積除以圓環的面積就能得出最終結果：
現在我們知道命中上圖中綠線次數（圓環寬度）是呈正態分布的，命中的次數就是曲線在r和r+h點與x軸圍成的面積：
現在需要將“線”擴展為”面”，實際上是等同於將“線”旋轉一周，等同於將上圖陰影部分繞y軸旋轉一周，於是根據殼層法，圓環的命中次數：
綜合示例
示例1
假設一個人的速度關於時間的函數是
，單位是m/s。這個人從t = 0時刻開始跑步，加速5s，減速5s，他在這10s內的平均速度？
10秒內前進的距離：
根據積分表：
平均速度：
示例2
曲線f(x) = x和g(x) = x3在第一象限相交的區域為R。
a) 在R區域，x的均值是多少？
b) 如果在R上隨機取一點，該點上x > 1/2的幾率是多少？
問題a可轉換為加權問題，如下圖所示：
在虛線上，x值的總量是sum(x) = xb (f(xb) – g(xb))，均值是xb，x的權重就是w(x) = f(x) – g(x)。根據加權平均公式：
問題b較為簡單，就是計算x > 1/2時R的面積與總面積的比值：
總結
1.現在看來均值和積分有着密切關系，將定積分除以積分的區間長度就是均值。
2.對於不同的變量計算均值，將會得到不同的答案。
3.對於加權平均值：
4.概率的一般公式：
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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