定積分除了計算面積外，還可以應用在計算體積上。
圓盤法
一條曲線y = f(x)，如果曲線繞x軸旋轉，則曲線經過的區域將形成一個橄欖球形狀的體積，如下圖所示：
曲線繞x軸旋轉一周
現在要計算體積。我們依然按照黎曼和切片的思路去計算，只不過這回需要一點想象力。
將上圖的矩形繞x軸旋轉一周將得到一個半徑為y，高度為dx的圓盤：
矩形框繞x軸旋轉一周
該圓盤的面積S(x)≈π(f(x))2，體積： Δv ≈ S(x)Δx，如果將整個圖形的體積切成n個圓盤：
這就是圓盤法。
示例
求半徑為a的球的體積。
通過球體的公式可知，V =πa3(4/3)，假設我們不知道這個公式，使用圓盤法求解。
先將球體的最大橫截面投影到直角坐標系上，在對圓的上半部分切割，旋轉，如下圖所示：
圓盤的底面積≈πy2，由此可以得到球體體積：
還需要將y轉換為x。根據上圖中圓的公式(x – a)2 + y2 = a2，可得出y2 = 2ax - x2，於是：
實際上我們得到了更多的信息，如果僅計算部分球體的體積，依然可以使用上面的結論，僅改變積分上限即可，如下圖所示：
實際上可以把V = π(ax2 – x3/3)看作球體切片的公式。
殼層法
假設坩堝內壁的橫截面曲線是y = x2，深度是a，計算坩堝的容積。
計算坩堝的容積
我們依舊可以使用圓盤法計算，這是這次是繞y軸旋轉：
圓盤法
圓盤的高度是Δy，所以需要將原函數轉換成y關於x的函數，在正半軸上，x = y1/2
對於本例來說，圓盤法沒有問題，如果曲線的公式再復雜一點，就需要在反函數的轉換上耗費時間，如果我們直接縱向切割，使用dx代替dy，就無需對原函數進行轉換：
矩形繞y軸旋轉一周將得到一個圓環，其厚度是dx，半徑是x，高度是a – x2，如下圖所示：
如果展開圓環，將得到一個底面積是圓環周長，高度是dx的長方體，其體積：
由此，坩堝的容積是：
單位產生的悖論
在計算坩堝的容積時，我們最終得到V = πa2/2，如果坩堝深度是1m，代入公式得到π/2（m3）；現在將1m換成100cm，因為高度是一樣的，所以我們期待得到同樣的結果，但是代入公式后，最終得到10000π/2（cm3）= 0.01π/2（m3）相差了100倍！這回有意思了。
問題出在哪呢？仔細觀察最終結果的積分形式：
積分的上限是a1/2，11/2 = 1，1001/2 = 10，因此單位不同將得到不同的結果。實際上這個公式違背了比例原則，將所有問題數學化的同時並沒有考慮到物理學中的量綱。這就好比重力加速度是9.8，但這個9.8是有單位的，單位是米每二次方秒，如果長度單位采用厘米，這個常數9.8也需要相應變化才能適用。
示例
示例1
求y = 5和y=x2 + 1所圍圖形繞y軸旋轉后得到的體積。
用圓盤法計算，圓盤繞y軸旋轉，如下圖所示：
示例2
求x=4和y=x1/2，x軸所圍圖形繞x=6旋轉后得到的體積。
本例根據殼層法計算，如下圖所示：
殼層（或圓環）的高是x1/2，半徑是6 – x，厚度是dx：
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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