我們已經能夠處理很多極限，但是對於一些特殊情況的極限問題，過去的方法顯得有些蒼白。在先前內容的鋪墊下，我們終於可以處理一些不定型的極限問題了，其中包括“0/0”型、“∞/∞”型，這一切都是通過“洛必達法則”實現的。從此，我們甚至能夠判斷“∞的大小”。
不定式
把某些型如0/0或∞/∞的極限成為型不定式。其它常見的不定式還有00、0·∞、∞0、1∞、∞-∞
例如
是一個00型不定式，底數和指數是兩股相反的力量，底數想讓表達式極限趨近於0，指數想讓表達式趨近於1，二者互相較勁，看誰的力量更勝一籌。
洛必達法則
0/0型的極限
先來看一個例子：
這無法用直接代入的方法求解了，是一個典型的0/0型極限。可以試着用長除法解決：
雖然能夠求得極限，但計算過程太過繁瑣，下面嘗試使用更簡單的辦法。
先將極限做一次變形：
如果令f(x) = x10 – 1，f(1) = 0，那么
這正是導數的定義。
同理，令g(x) = x2 – 1， g’(x) = 2x
公式
把上面的方法更系統化，就離洛必達法則更進一步了。
如果 
是0/0的極限，那么有f(a) = g(a) = 0，該極限的求解過程如下：
這就是洛必達法則：
上式成立的前提是：f(a) = g(a) = 0；等號右側的極限存在。第二點有點微妙——右端的存在證明了左端的存在。
示例1
示例2
這一步仍未解決問題，還是0/0型，於是再次使用洛必達法則：
與線性逼近的比較
如果用線性逼近（線性逼近可參考數學筆記6——線性近似和二階近似）計算上節的示例，則在x→0時：
利用二階近似，在x→0時：
結果與使用洛必達法則計算的相等。
洛必達法則的推廣
前面提到洛必達法則的基本定理：
上式成立的前提是：f(a) = g(a) = 0；等號右側的極限存在。第二點有點微妙——右端的存在證明了左端的存在。
定理的推廣
⑴ 該定理所有條件中，對a = ±∞的情況，結論依然成立。
⑵ 該定理第一條件中，對f(a)和g(a)，極限皆為 ±∞的情況，結論依然成立。
簡單地說，洛必達法則僅對0/0和∞/∞直接適用，其它構型需要經過一定的演算和變形，使其變為0/0或∞/∞。
示例1
0·(-∞)型像是兩個式子在比賽，看誰的變化速度更快，但這不能直接使用洛必達法則，所以原式需要經過演化：
這次變成了(-∞/∞)，即∞/∞型，可以直接使用洛必達法則：
當x→0+時，x的變化速度要快於lnx。
示例2
當x→∞時，x比epx變化的緩慢。
示例3
一個典型的∞/∞型，但是在使用洛必達法則時會遇到麻煩：
這並沒有實質性的進展。當然，我們可以推算出，在經過連續使用洛必達法則后，分子依然趨近∞，分母最終將變成一個常數，所以最終結果是∞。
這個結果並不直觀，我們嘗試使用更直觀的方式得出結論，這需要一點代數技巧。
由此可以得出這樣的結論：指數函數的變化率勝過任何冪函數。
示例4
結論：對數函數比任何冪函數都變化的更慢。
示例5
這是00型，不能直接使用洛必達法則，所以仍需進行演化，這里的演化方式是使用e作為底數：
在示例1中得知，
注意事項
陷阱
0/0型可以直接使用洛必達法則，求導也很簡單，因此很高興的計算如下：
根據線性逼近重新計算一下：
得到了兩個截然相反的結果，一定是其中某個環節出現了問題。在第一個計算中：
左邊的式子是1/0型，不能使用洛必達法則！所以這個等式是錯的。實際上可以直接得到左側等於∞的結論。
不要忘記基礎知識
∞/∞是符合洛必達法則的，但在這個例子中沒有必要去使用洛必達法則。分子的最高次項是x5，分母是x4，所以分子是分母的高階無窮，因此可以直接得出結論，結果是∞。
這個例子給我們的提示就是：不要忘記基礎知識。
洛必達表法則不適用的情況
∞/∞型，使用洛必達法則：
看起來更復雜了。cosx的取值范圍是[-1, 1]，所以當x→∞時可以直接求得極限：
不要忘記基礎知識。
綜合示例
示例1
0/0型，
示例2
示例3
0/0型，
示例4
∞/∞型，
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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