微積分小題集(1)
證明：\(a_n = \prod_{k=1}^n(1 + \frac 1{k^2})\) 收斂。
引理 \(\ln(1 + t) \le t\)。
\(\ln a_n \le \sum \frac 1{k^2} \le 1 + \sum \frac 1{k(k-1)}\)，裂項即可求得極限。
證明 \(\lim_{x \to \infty}(\sin \sqrt{x^2+2}-\sin \sqrt {x^2+1})=0\)
\(\sin x - \sin y \le |x - y|\) 即可得證。
設函數 \(f(x)\) 在 x = 0 處可導，且 \(f(0) = 0\)，定義 \(x_n = \sum_i f(\frac{i}{n^2})\)，證明 x 收斂，並求極限。
由可導定義，對任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，\(x (f'(x)-\varepsilon)<f(x)<x (f'(0)+\varepsilon)\)。
則 \(\frac{n(n+1)}{2n^2}(f'(0)-\varepsilon)<x_n<\frac{n(n+1)}{2n^2}(f'(0)+\varepsilon)\)，\(x_n \to \frac{f'(0)}{2}\)
設 \(f(0) = 1\)，\(f'(0) = -1\)，則：
\(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - f(x)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{(\cos x-1) - (f(x)-1)}{x}=1\)
\(\lim_{x \to 0}\frac{2^xf(x) -1}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{2^x(f(x)-1) +2^x-1}{x}=-1+\ln2\)
\(\lim_{x \to 1}\frac{f(\ln x) - 1}{1-x} = \lim_{x \to 1}\frac{f(\ln x) - f(0)}{\ln x} \times \frac{\ln x}{1 - x}=-1\)
求極限 \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin^2 x-x^2 \cos^2 x}{x^2\sin^2 x}\)。