單變量微積分筆記5——導數5（指數函數和對數函數的導數）

 指數函數的性質

　　先來復習一下中學的課程：

指數函數的導數

　　對f(x) = a^x求導：

　　a^x右側的那個極限似乎沒有辦法繼續簡化了，如果這個極限看作關於a的函數（之所以將極限看作關於a的函數，是因為在這個極限中，a是未知的，Δx是已知的）：

　　函數在某一點導數的幾何意義是該點處切線的斜率，所以M(a)也就是ax在x=0處切線的斜率。

　　如果y=2^x，則，我們仍不知道M(a)是什么，暫且作為懸念。

e

　　我們知道e表示自然對數的底數，暫且不管自然對數到底是什么，只知道它確實存在。e有兩個性質：

　　1) (e^x)’ = e^x

　　2) e^x在x=0的導數是1

　　當我們想要繼續對f(kx)=2^kx，k∈R求導時，根據上節的公式（2），，這並沒有解決問題，看起來更復雜了。如果已知函數某一點的導數，就能求得該函數壓縮或伸展后在該點的導數，2^kx僅僅是2^x的壓縮或伸展，在x=0處的斜率也不斷向左或向右傾斜：

　　當k=1/M(2)時，(b^x)在x=0處的導數是1，b = e，雖然暫時不知道它的值，但已經知道它確實存在。

對數的性質

自然對數的導數

　　自然對數是以e為底的對數，簡寫做ln

　　

　　y=lne和y=e^x互為反函數：

lnx求導

　　對於函數y = lnx，其反函數是e^y = x，根據反函數微分法：

M(a)的真相

　　已經做了足夠多的准備工作，是時候揭開M(a)的真相了。

　　在對指數函數y=a^x求導時，我們得出(a^x)’=a^xM(a)。根據對數的性質，e^lna = a，原函數需要使用對數進行一次變換：

　　根據鏈式求導法則，

　　所以，M(a) = ln(a)

指數函數的求導公式

　　由於已經知道了M(a)，所以我們終於可以完成對指數函數的求導了。

　　對數函數求導公式：(a^x)’ = a^xlna

 　　示例：

　　(10^x)’ = 10^xln10， (2^x)’ = 2^x ln2

對數微分法

　　自然對數求導公式：(lnu)’ = u’/u，u是x的函數

　　根據該公式，(lnx)’ = x’/x = 1/x

 

　　示例1：(lnx)’ = x’/x = 1/x

　　示例2：(lna^x)’ = (a^x)’/ a^x = (a^x lna) / a^x = lna

　　示例3：(x^x)’

 　  這個稍微復雜點，不能直接用指數函數求導法則，因為指數也是x，此時需要使用對數做一次轉換。

　　示例4：(xⁿ)’

　　根據冪函數求導公式，(xⁿ)’ = nx^n-1，現在使用對數轉換對其求解：

　　也可以使用對數微分法求解：

　　示例5：(lnsecx)’

　　(lnsecx)’ = (secx)’/secx = secxtanx/secx = tanx

 e的真相

　　先來看一個極限：

　　這下麻煩了，似乎沒有辦法直接求解。然而數學的魅力就在於化繁為簡，化不可能為可能。暫且拋開lim，並使用對數轉換(1+1/x)^x ：

　　由此得出結論：

總結

1. (e^x)’ = e，e^x在x=0處的導數是1
2. 指數函數的導數 (a^x)’=a^xlna
3. (lnx)’ = 1/x
4. 對數微分法，(lnu)’ = u’/u
5. 

    

    

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