參數方程的示例
現在有兩個函數，x = acost和y = asint，如果將t看作時間，我們感興趣的第一個問題是這兩個函數將形成什么曲線？
x2 + y2 = a2cos2t + a2sin2t = a2
很明顯是一個圓。
另一個關注的問題是隨着時間t的變化，在這個圓上的運動方向，包括什么時間上位於圓的哪個位置，可以把它想象成行星的軌道。
可以通過描點解決。
t = 0, (x, y ) = (acos0, sin0) = (a, 0)
t = π/2, (x, y) = (acosπ/2, sinπ/2) = (0, a)
t = π, (x, y) = (acosπ, sinπ) = (-a, 0)
t = 3π/2, (x, y) = (acos3π/2, sin3π/2) = (0, -a)
由此可以得知，點在圓上逆時針運動：
最后一個感興趣的問題是弧長，也就是在一段時間內移動的路程：
弧長關於時間的變化率：
由此推出：
將這個結果應用到上面的問題：
這可以看作是點繞圓運動的速率，由於a是一個常數，所以它是勻速運動的。
如果現在有一個新的速度，x = acoskt，y = asinkt，則：
速度改變了，但運動仍是勻速的。
以上是一個簡單的參數方程的推導過程，我們的推導依據是弧長公式：
參數方程包含的信息
兩個函數x = 2sint，y = cost，根據這兩個函數可以得到：
x2/4 + y2 = sin2t + cos2t = 1
在平面直角坐標系中這是一個橢圓，除此之外還可以得到很多特定的信息，比如起點、軌跡、方向、速率和弧長。
如果去t = 0為起點，則：
t = 0, (x, y) = (0, 1)
t = π/2, (x, y) = (2, 0)
t =π, (x, y) = (0, -1)
t =3π/2, (x, y) = (-2, 0)
點按照順時針方向走橢圓上運動：
點在一路上的速率：
點運行一周需要的時間是2π，需要對ds積分，所以橢圓的弧長：
這是一個高等積分了，沒有可以用初等函數表示的原函數，所以這就是弧長的答案，也是為什么中學沒有學習過橢圓周長公式的原因。
新的思維模式
在上面的例子中，x = 2sint，y = cost，雖然我們最終將它們聯合在一起形成直角坐標系中的曲線，但是需要注意的是，這里的x和y分別代表兩個不同的函數，我們不再認為y是x的函數，即y ≠ y(x)。這是很明顯的，因為同一個x將對應兩個y值。此時參數t的作用便凸顯出來，通過t建立方程，描述整個曲線。t是沒有出現在圖像上的另一個維度，所以我們將t想象時間：一個點沿着橢圓跑，在不同的時間到達不同的位置。
在這個例子中，我們要拋開“y是x的函數”的概念，這里y和x都是t的函數，y = y(t)，x = x(t)，它們有了不同的意義，x不再是自變量，它也是函數。理解了這一點，就可以站在更高的層面看待問題。
橢球的表面積
現在需要計算x = 2sint，y = cost形成的橢圓繞y軸旋轉，形成的橢球的表面積。
依然使用圓盤法，對弧長ds進行積分：
示例
根據參數方程計算曲線在1 ≤ t ≤ 2時的長度，y = t – 1/t, x = t + 1/t
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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