什么是數值積分
數值積分是計算定積分數值的方法和理論。在數學分析中，給定函數的定積分的計算不總是可行的。許多定積分不能用已知的積分公式得到精確值。數值積分是利用黎曼積分等數學定義，用數值逼近的方法近似計算給定的定積分值。借助於電子計算設備，數值積分可以快速而有效地計算復雜的積分。
數值積分的必要性源自計算函數的原函數的困難性。利用原函數計算定積分的方法建立在牛頓-萊布尼茲公式之上。然而，原函數可以用初等函數表示的函數為數不多，大部分的可積函數的積分無法用初等函數表示，甚至無法有解析表達式。例如常見的正態分布函數：
的原函數就無法用初等函數表示。
不僅如此，在很多實際應用中，只能知道積分函數在某些特定點的取值，比如天氣測量中的氣溫、濕度、氣壓等，醫學測量中的血壓、濃度等等。另外，積分函數有可能是某個微分方程的解。由於很多微分方程只能數值求解，因此只能知道函數在某些點上的取值。這時是無法用求原函數的方法計算函數的積分的。
另外，當積分區域是曲面、三維形體以至於高維流形時，牛頓-萊布尼茲公式不再適用，只能使用更廣泛的格林公式或斯托克斯公式，以轉化為較低維數上的積分，但只能用於少數情況。因此，只能使用數值積分計算函數的近似值。
數值積分的常見公式
矩形公式
就是常見的黎曼和，在切割小矩形時，可選擇使用左矩形或右矩形。
左矩形公式：
右矩形公式：
左右矩形公式的區別如下圖所示：
左矩形公式
右矩形公式
梯形公式
與矩形公式不同，梯形公式直接將點連接，當Δx→∞時，這看起來更接近於與真實面積：
辛普森公式
辛普森公式是更高級並且在實際中精確度更高的公式，它的核心思想是面積≈ 底邊長 × 平均高度。高度是有權重的，為了計算平均高度，試圖將點用拋物線相連，每個拋物線連接三個相鄰的點：
這里直接給出結果。上圖從x0到x2的面積可計為：
總面積：
數值積分的應用
示例1
計算y = 1/x在x = 1和 x = 2之間與x軸圍成的面積：
下面是不同計算方法的對比。
實際面積：
梯形公式：
辛普森公式：
這個例子中，辛普森公式遠比梯形公式精確，實際上，|真實值 – 辛普森值| ≈ (Δx)4，如果Δx = 0.1，辛普森值將非常接近真實值。
示例2
用梯形公式和辛普森公式估算 
，Δx=π/4
梯形公式：
辛普森公式：
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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