在復習隨機信號處理課程，做第三章《隨機信號經過線性系統》的習題時，發現很多習題都需要求三角函數和指數函數乘積的積分，下面用三種方法來求類似積分。
問題描述：求\(S_1=\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx,S_2=\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx\)
方法1：(歐拉公式)
\[\begin{equation} \begin{aligned} S_1&=\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx=\frac{1}{2i}\int e^{nx}(e^{imx}-e^{-imx})dx\\ &=\frac{1}{2i} [\int e^{(n+im)x}-e^{(n-im)x}dx]=\frac{1}{2i}[\frac{1}{n+im}e^{(n+im)x}-\frac{1}{n-im}e^{(n-im)x}]\\ &=\frac{1}{2i}\lbrace \frac{1}{n+im}e^{nx}[{\rm cos}(mx)+i{\rm sin}(mx)]-\frac{1}{n-im}e^{nx}[{\rm cos}(mx)-i{\rm sin}(mx)]\rbrace\\ &=\frac{1}{2i}\lbrace (\frac{1}{n+im}-\frac{1}{n-im})e^{nx}{\rm cos}(mx)+i(\frac{1}{n+im}+\frac{1}{n-im})e^{nx}{\rm sin}(mx)\rbrace\\ &=\frac{1}{n^2+m^2}[ne^{nx}{\rm sin}(mx)-me^{nx}{\rm cos}(mx)]\\ &=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})' & e^{nx}\\ [{\rm sin}(mx)]' & {\rm sin}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2} \end{aligned} \end{equation}\tag{1} \]
\[\begin{equation} \begin{aligned} S_2&=\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx=\frac{1}{2}\int e^{nx}(e^{imx}+e^{-imx})dx\\ &=\frac{1}{2} [\int e^{(n+im)x}+e^{(n-im)x}dx]=\frac{1}{2}[\frac{1}{n+im}e^{(n+im)x}+\frac{1}{n-im}e^{(n-im)x}]\\ &=\frac{1}{2}\lbrace \frac{1}{n+im}e^{nx}[{\rm cos}(mx)+i{\rm sin}(mx)]+\frac{1}{n-im}e^{nx}[{\rm cos}(mx)-i{\rm sin}(mx)]\rbrace\\ &=\frac{1}{2}\lbrace (\frac{1}{n+im}+\frac{1}{n-im})e^{nx}{\rm cos}(mx)+i(\frac{1}{n+im}-\frac{1}{n-im})e^{nx}{\rm sin}(mx)\rbrace\\ &=\frac{1}{n^2+m^2}[ne^{nx}{\rm cos}(mx)+me^{nx}{\rm sin}(mx)]\\ &=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})' & e^{nx}\\ [{\rm cos}(mx)]' & {\rm cos}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2} \end{aligned} \end{equation}\tag{2} \]
方法2：代數求解
由
\[\begin{equation} \begin{aligned} \lbrace e^{nx}{\rm sin}(mx)\rbrace '&=ne^{nx}{\rm sin}(mx)+me^{nx}{\rm cos}(mx)\\ \lbrace e^{nx}{\rm cos}(mx)\rbrace '&=ne^{nx}{\rm cos}(mx)-me^{nx}{\rm sin}(mx) \end{aligned} \end{equation}\tag{3} \]
對上式左右兩邊同時對\(x\)積分，可以得到
\[\begin{equation} \begin{aligned} e^{nx}{\rm sin}(mx)&=n\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx+m\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx=nS_1+mS_2\\ e^{nx}{\rm cos}(mx)&=n\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx-m\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx=nS_2-mS_1 \end{aligned} \end{equation}\tag{4} \]
聯立(4)可以求解得到
\[\begin{equation} \begin{aligned} S_1&=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})' & e^{nx}\\ [{\rm sin}(mx)]' & {\rm sin}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2}\\ S_2&=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})' & e^{nx}\\ [{\rm cos}(mx)]' & {\rm cos}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2} \end{aligned} \end{equation}\tag{5} \]
方法3：分部積分直接求解
\[\begin{equation} \begin{aligned} S_1&=\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx=\frac{1}{n}\int {\rm sin}(mx)d(e^{nx})\\ &=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{1}{n}\int e^{nx}d[{\rm sin}(mx)]\\ &=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n}\int e^{nx}{\rm cos}(mx)dx\\ &=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n^2}\int {\rm cos}(mx)d(e^{nx})\\ &=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n^2}{\rm cos}(mx)e^{nx}+\frac{m}{n^2}\int e^{nx}d[{\rm cos}(mx)]\\ &=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n^2}{\rm cos}(mx)e^{nx}-\frac{m^2}{n^2}\int e^{nx}{\rm sin}(mx)dx\\ &=\frac{1}{n}{\rm sin}(mx)e^{nx}-\frac{m}{n^2}{\rm cos}(mx)e^{nx}-\frac{m^2}{n^2}S_1 \end{aligned} \end{equation}\tag{6} \]
從(6)可以得出\(S_1=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})' & e^{nx}\\ [{\rm sin}(mx)]' & {\rm sin}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2}\)，同理可以求得\(S_2=\frac{\begin{vmatrix}(e^{nx})' & e^{nx}\\ [{\rm cos}(mx)]' & {\rm cos}(mx)\end{vmatrix}}{n^2+m^2}\)。
需要注意的是，在上面的積分求解過程中均省略了常數。