利用單位圓來定義任意角的三角函數，如下圖所示，$\alpha$ 是一個任意角，它的終邊與單位圓交於點 $P(x,y)$。
那么角 $\alpha$ 的正弦定義為
$$\sin \alpha = y$$
角 $\alpha$ 的余弦定義為
$$\cos \alpha = x$$
角 $\alpha$ 的正切定義為
$$\tan \alpha = \frac{y}{x}$$
周期性在圖像上可以直觀看出，點 $P$ 從 $A$ 點出發繞 $360$ 度后又回到起始點。
角 $\alpha$ 的正弦圖像如下：
可以看出，正弦函數的定義就是：單位圓上點的縱坐標與角度(弧度表示)的關系，這個角度是該點與原點的連線和 $x$ 軸正半軸的夾角。
角頻率：表示單位時間內變化的角度弧度值，單位為 $rad/s$。
現在我們將正弦函數中角度的變化表示為角頻率和時間的乘積，即 $\alpha = \omega t$，所以
$$f = \sin\alpha = \sin \omega t$$
可以發現，當 $\omega = 1 \; rad/s$ 時，$t$ 在數值上就等於 $\alpha$。
接下來研究下面這個函數
$$f(t) = A\sin(\omega t + \varphi)$$
函數 $f = \sin \alpha$ 的周期就是圓周的角度，即 $2\pi$，轉化為角速度乘上時間之后，函數 $f(t)$ 的周期就是角度變化一個圓周的時間，所以
$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$
頻率：函數每秒鍾完成周期性變化的次數，所以有
$$f = \frac{1}{T}$$
所以
$$\omega = 2\pi f$$