高數——三角函數

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1 函數關系

1.1 倒數關系

$\sin\alpha·\csc\alpha=1$

$\cos\alpha·\sec\alpha=1$

$\tan\alpha·\cot\alpha=1$

1.2 商數關系

$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

1.3 平方關系

$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha=1$ (1-3-1 式)

$1+\tan^{2}\alpha=\sec^{2}\alpha$

$1+\cot^{2}\alpha=\csc^{2}\alpha$

2 誘導公式

參考 $f(\frac{k}{2}\pi\pm \alpha)=g(\alpha),k\in Z$ 奇變偶不變，符號看象限。
1）k為偶數，函數名不變。k為奇數，函數名余變正、正變余；
2）將 $\alpha$ 視為銳角，觀察原函數的函數值符號，將其賦給變換后的函數。

2.1 k為0，符號為負

$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$

$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

$\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha)$

$\cot(-\alpha) = -\cot(\alpha)$

2.2 k為1，符號為負

$\sin(\frac{1}{2}\pi-\alpha) = \cos(\alpha)$

$\cos(\frac{1}{2}\pi-\alpha) = \sin(\alpha)$

$\tan(\frac{1}{2}\pi-\alpha) = \cot(\alpha)$

$\cot(\frac{1}{2}\pi-\alpha) = \tan(\alpha)$

2.3 k為2，符號為負

$\sin(\pi-\alpha) = \sin(\alpha)$

$\cos(\pi-\alpha) = -\cos(\alpha)$

$tan(\pi-\alpha) = -tan(\alpha)$

$\cot(\pi-\alpha) = -\cot(\alpha)$

2.4 k為2，符號為正

$\sin(\pi+\alpha) = -\sin(\alpha)$

$\cos(\pi+\alpha) = -\cos(\alpha)$

$\tan(\pi+\alpha) = \tan(\alpha)$

$\cot(\pi+\alpha) = \cot(\alpha)$

不再做更多舉例。

3 二角和差公式

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha · \cos\beta + \cos\alpha · \sin\beta$ (3-1 式)

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha · \cos\beta - \cos\alpha · \sin\beta$ (3-2 式)

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha · \cos\beta - \sin\alpha · \sin\beta$ (3-3 式)

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha · \cos\beta + \sin\alpha · \sin\beta$ (3-4 式)

$\tan(\alpha + \beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta}$ (3-5 式)

$\tan(\alpha - \beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta}$ (3-6 式)

4 積化和差

4.1 公式列出

$\cos\alpha ·\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha - \beta)]$ (* 4-1 式)

$\sin\alpha ·\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+ \beta)+\sin(\alpha - \beta)]$ (* 4-2 式)

$\cos\alpha · \cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)]$ (* 4-3 式)

$\sin\alpha · \sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$ (* 4-4 式)

4.2 記憶方法

4-1式 = 3-1式 - 3-2式

4-2式 = 3-1式 + 3-2式

4-3式 = 3-3式 + 3-4式

4-4式 = 3-3式 - 3-4式

5 和差化積

5.1 公式列出

$\sin\alpha + \sin\beta=2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$ (* 5-1 式)

$\cos\alpha + \cos\beta=2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$ (* 5-2 式)

$\sin\alpha - \sin\beta=2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$ (* 5-3 式)

$\cos\alpha - \cos\beta=-2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$ (* 5-4 式)

$\tan\alpha+\tan\beta=\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha · \cos\beta}$ (5-5 式)

5.2 記憶方法

5.2.1 口訣法

正加正，正在前，余加余，余並肩，正減正，余在前，余減余，負正弦。

5.2.2 推導法

觀察 4-1式 4-2式 4-3式 4-4式，令 $u=\alpha+\beta$ , $v=\alpha-\beta$ ，有 $\alpha=\frac{u+v}{2}$ , $\beta=\frac{u-v}{2}$ 。用你 u, v 替換原式中 $\alpha,\beta$ 。

4-2式 ==( u, v 換元)==> 5-1式

4-3式 ==( u, v 換元)==> 5-2式

4-1式 ==( u, v 換元)==> 5-3式

4-4式 ==( u, v 換元)==> 5-4式

6 二倍角公式

6.1 公式列出

$\sin2\alpha=2\sin\alpha · \cos\alpha$ (* 6-1式)

$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha$ (* 6-2式)

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ (* 6-3式)

6.2 記憶方法

3-1式 ==( $\beta$ 改為 $\alpha$ )==> 6-1式

3-3式 ==( $\beta$ 改為 $\alpha$ )==(用 1-3-1式代還平方項)==> 6-2式

3-5式 ==( $\beta$ 改為 $\alpha$ )==> 6-3式

6.3 使用場景

6-2式常於化簡時被用來降次升冪（或降冪升次）

7 半角公式（降冪公式）

7.1 公式列出

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ (* 7-1式)

$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ (* 7-2式)

$\tan\frac{\alpha}{2}= \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$ (* 7-3式)

$\tan\frac{\alpha}{2}= \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (* 7-4式)

$\tan\frac{\alpha}{2}= \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$ (* 7-5式)

7.2 記憶方法

注意到 6-2 式有 $2\cos^2\alpha-1$ 和 $1-2\sin^2\alpha$ 兩種形式，通過整理后即可得到 7-1式、7-2式。

將 7-1式，7-2式相除，得到 7-3式。

7-4式和 7-5式待續。

8 萬能公式

8.1 公式列出

$\sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^{2}\frac{\alpha}{2}}$ (* 8-1式)

$\cos\alpha=\frac{1-\tan^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^{2}\frac{\alpha}{2}}$ (* 8-2式)

$\tan\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^{2}\frac{\alpha}{2}}$ (* 8-3式)

8.2 記憶方法

8-1式和 8-2式待續。

8-3式和 6-3式是同一個公式。

9 正弦定理、余弦定理

9.1 正弦定理

$\triangle ABC$ 的角 A, B, C 對應的 3 邊分別為 a, b, c。其外接圓半徑為R，則有

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

9.2 余弦定理

$\triangle ABC$ 的角 A, B, C 對應的 3 邊分別為 a, b, c。則有

$a^{2}=b^{2} + c^{2}-2bc·\cos A$

$b^{2}=a^{2} + c^{2}-2ac·\cos B$

$c^{2}=a^{2} + b^{2}-2ab·\cos C$

10 常用反三角函數公式

10.1 $\arcsin\alpha+\arccos\alpha=\frac{\pi}{2}$

11 例題

11.1 求極限

1） $\lim_{x \rightarrow \alpha}{\frac{\sin x-\sin\alpha}{x-\alpha}}$ （高等數學第七版 1-9 習題 3.6）

2） $\lim_{x \rightarrow 0}{(1+3\tan^{2}x)^{\cot^{2}x}}$ （高等數學第七版 1-9 習題 4.4）

11.2 求導數

1） $y=\frac{\arcsin x}{\arccos x}$ （高等數學第七版 2-2 習題 8.7）

2）計算擺線的參數方程

$\{_{y=a(1-\cos t)}^{x=a(t-\sin t),}$

所確定的函數 y=y(x)的二階導數.（高等數學第七版 2-4 例9）

3）求 $y=\tan(x+y)$ 的二階導數 $\frac{d^2y}{dx^2}$ .（高等數學第七版 2-4 習題 3.3）

11.3 求根

1） $\frac{\cos\xi}{1-\sin\xi}=\frac{2}{\pi-2}, \xi\in(0,\frac{\pi}{2})$ .(高等數學第七版 3-1 習題 3 倒數第二步)

11.4 求不定積分

1） $\int_{}^{}\sin^{3}xdx$ .(高等數學第七版 4-2 例題 11)

2） $\int_{}^{}\cos^{2}xdx$ .(高等數學第七版 4-2 例題 14)

3） $\int_{}^{}\csc xdx$ .(高等數學第七版 4-2 例題 18)

4） $\int_{}^{}\sec xdx$ .(高等數學第七版 4-2 例題 19)

5） $\int_{}^{}\cos3x\cos2xdx$ .(高等數學第七版 4-2 例題 20)

6） $\int_{}^{}\frac{dx}{1+\sqrt{1-x^2}}$ .(高等數學第七版 4-2 習題 2.41)

7） $\int \frac{\sin x}{1+\sin x\cos x}dx$ .(知乎專欄數學雜談用三角變換巧解一個不等式)

11.5

（本題1,2小問證明為定積分相關內容，想練習三角公式的同學直接使用1,2的結論求3即可）

設 $f(x)$ 是連續的周期函數，周期為T：

1）證明 $\int_{a}^{a+T}fxdx=\int_{0}^{T}f(x)dx$ ；

2）證明 $\int_{a}^{a+nT}fxdx=n\int_{0}^{T}f(x)dx（n \in N）$ ；

3）計算 $\int_{0}^{n\pi}\sqrt{1+\sin2x}dx$ .

(高等數學第七版 5-3 例7)

12 例題答案

11.1 求極限

1） $\lim_{x \rightarrow \alpha}{\frac{\sin x-\sin\alpha}{x-\alpha}}= \lim_{x \rightarrow \alpha}{\frac{\cos\frac{x+\alpha}{2}\sin\frac{x-\alpha}{2}}{\frac{x-\alpha}{2}}}= \cos\alpha$

2） $\lim_{x \rightarrow 0}{(1+3\tan^{2}x)^{\cot^{2}x}}= \lim_{x \rightarrow 0}{(1+3\tan^3x)}^{\frac{1}{3\tan^3x}·3}= e^3$

11.2 求導數

1） $y^{'}= \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}·\arccos x-\arcsin x·(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})}{\arccos^{2}x}= \frac{\arcsin x+\arccos x}{\sqrt{1-x^2}\arccos^2x}= \frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}\arccos^2x}$

2）

$\frac{dy}{dx}= \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}= \frac{a\sin t}{a(1-\cos t)}= \frac{\sin t}{1-\cos t}= \cot\frac{t}{2}\space\space\space(t\ne2n\pi,n\in Z).$

$\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})= \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\frac{dx}{dt}}= -\frac{1}{2\sin^2\frac{t}{2}}·\frac{1}{a(1-\cos t)}= -\frac{1}{a(1-\cos t)^2}\space\space\space(t\ne2n\pi,n\in Z)$

3）

$y'=[\sec^2(x+y)]·(1+y')=[1+\tan^2(x+y)]·(1+y')=(1+y^2)(1+y'),$

於是

$y'=\frac{1+y^2}{1-(1+y^2)}=-\frac{1}{y^2}-1$

$y''=\frac{2y'}{y^3}=-\frac{2(1+y^2)}{y^5}=-2\csc^2(x+y)\cot^3(x+y)$

11.3 求根

1） $\frac{\cos\xi}{1-\sin\xi}=\frac{2}{\pi-2}$

$\frac{\frac{1-\tan^2\frac{\xi}{2}}{1+\tan^2\frac{\xi}{2}}}{1-\frac{2\tan\frac{\xi}{2}}{1+\tan^2\frac{\xi}{2}}}= \frac{2}{\pi-2}$

$\frac{1+\tan\frac{\xi}{2}}{1-\tan\frac{\xi}{2}}=\frac{2}{\pi-2}$

$\tan\frac{\xi}{2}=\frac{4-\pi}{\pi}$

$\xi=2\arctan(\frac{4-\pi}{\pi})$

11.4 求不定積分

1） $\int_{}^{}\sin^{3}xdx= \int_{}^{}\sin^{2}x·\sin xdx= -\int_{}^{}(1-\cos^{2}x)·d(\cos x)= -\cos x+\frac{1}{3}\cos^{3}x+C$

2）

$\int_{}^{}\cos^{2}xdx= \int_{}^{}\frac{1+\cos2x}{2}dx= \int_{}^{}\frac{1}{2}dx+\int_{}^{}\frac{\cos2x}{4}d2x= \frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4} + C$

3）

$\int_{}^{}\csc\space xdx= \int_{}^{}\frac{1}{\sin x}dx= \int_{}^{}\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}·\cos\frac{x}{2}}dx$

$= \int_{}^{}\frac{1}{\tan\frac{x}{2}·\cos^{2}\frac{x}{2}}d(\frac{x}{2})= \int_{}^{}\frac{1}{\tan\frac{x}{2}}d(\tan\frac{x}{2})$

$=\ln\left| \tan\space \frac{x}{2} \right|+C$

或者因為

$\tan\frac{x}{2}= \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}= \frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{\sin x}= \frac{1-\cos\ x}{\sin x}= \csc x - \cot x$

故不定積分也可表為

$\int_{}^{}\csc xdx= \ln\left| \csc x - \cot x \right|+C$

$4） \int_{}^{}\sec xdx= \int_{}^{}\csc (x+\frac{\pi}{2})d(x+\frac{\pi}{2})$

應用上一題 11.4-3 結果

$= \ln\left| \csc(x+\frac{\pi}{2})-\cot(x+\frac{\pi}{2}) \right|+C= \ln\left| \sec x + \tan x \right| + C$

5） $\int_{}^{}\cos3x\cos2xdx$

$= \int_{}^{}\frac{1}{2}(\cos5x + \cos x)dx$

$= \frac{1}{2}[\int_{}^{}\frac{1}{5}\cos5xd5x + \int_{}^{}\cos xdx]$

$= \frac{1}{10}\sin5x + \frac{1}{2}\sin x + C$

6） $\int_{}^{}\frac{dx}{1+\sqrt{1-x^2}}$

設 $x=\sin t,\space dx=\cos tdt$

$\int_{}^{}\frac{dx}{1+\sqrt{1-x^2}}= \int_{}^{}\frac{\cos tdt}{1+\cos t}$

$= \int_{}^{}\frac{(2\cos^2\frac{t}{2}-1)dt}{1+2\cos^2\frac{t}{2}-1}$

$= \int dt-\int \sec^2\frac{t}{2}dt$

$= t-\tan\frac{t}{2} + C$

$= t-\frac{\sin t}{1+\cos t} + C$

t 角各邊關系示意圖

$= \arcsin x-\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} + C$

7） $\int \frac{\sin x}{1+\sin x\cos x}dx$

$= \frac{1}{2}\int \frac{\sin x+\cos x+\sin x-\cos x}{1+\sin x\cos x}dx$

$= \frac{1}{2}[\int \frac{\sin x+\cos x}{1+\sin x\cos x}dx+\int \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x\cos x}dx]$

$= \int \frac{\sin x+\cos x}{3-(\sin x-\cos x)^2}dx+\int \frac{\sin x-\cos x}{1+(\sin x+\cos x)^2}dx$

$= \int \frac{d(\sin x-\cos x)}{3-(\sin x-\cos x)^2}-\int \frac{dx(\sin x+\cos x)}{1+(\sin x+\cos x)^2}\$

$= \frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\left| \frac{\sin x - \cos x + \sqrt 3}{\sin x - \cos x - \sqrt 3} \right|-\arctan(\sin x + \cos x)+ C$

11.5

證：1）記 $\phi(a)=\int_{a}^{a+T}f(x)dx$ ，則

$\phi'(a)=[\int_{0}^{a+T}f(x)dx-\int_{0}^{a}f(x)dx]'=f(a+T)-f(a)=0$ ，

知 $\phi(a)$ 與 $a$ 無關，故 $\phi(a)=\phi(0)$ ，即

$\int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx.$

2） $\int_{a}^{a+nT}f(x)dx= \sum_{k=0}^{n-1}{\int_{a+kT}^{a+kT+T}f(x)dx}$ ，由1）知

$\int_{a+kT}^{a+kT+T}f(x)dx= \int_{0}^{T}f(x)dx$ ，

故

$\int_{a}^{a+nT}f(x)dx= n\int_{0}^{T}f(x)dx$

3） $\int_{0}^{n\pi}\sqrt{1+\sin2x}dx$

$= n\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+\sin2x}dx$

$= n\int_{0}^{\pi}\left| \sin x+\cos x \right|dx$

$= \sqrt 2n\int_{0}^{\pi}\left| \sin(x+\frac{\pi}{4}) \right|dx$

$= \sqrt 2n\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}\left| \sin(x) \right|dx$

$= \sqrt 2n\int_{0}^{\pi}\left| \sin(x) \right|dx$

$= \sqrt 2n\int_{0}^{\pi} \sin(x)dx$

$= 2\sqrt{2}n$

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