三角函數公式

三角函數是數學中屬於 初等函數中的 超越函數的函數。它們的本質是任何角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在 平面直角坐標系中定義的。其 定義域為整個 實數域。另一種定義是在 直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的 極限和 微分方程的解，將其定義擴展到復數系。

三角函數公式看似很多、很復雜，但只要掌握了三角函數的本質及內部規律，就會發現三角函數各個公式之間有強大的聯系。而掌握三角函數的內部規律及本質也是學好三角函數的關鍵所在。

 

中文名：三角函數公式

外文名：Formulas of trigonometric functions

應用學科：數學、物理、地理、天文等

適用領域范圍：幾何，代數變換，數學、物理、地理、天文等

目錄

• 1 定義式
• 2 函數關系
• 3 誘導公式
• 4 基本公式
• 4.1 和差角公式
• 4.2 和差化積公式
• 4.3 積化和差公式
• 4.4 倍角公式
• 4.5 半角公式
• 4.6 萬能公式
• 4.7 輔助角公式
• 5 其他公式
• 5.1 正弦定理
• 5.2 余弦定理
• 5.3 降冪公式
• 5.4 三角和
• 5.5 冪級數
• 5.6 泰勒展開式
• 5.7 傅里葉級數

定義式

	銳角三角函數	任意角三角函數
圖形	直角三角形	任意角三角函數
正弦（sin）
余弦（cos）
正切（tan或tg）
余切（cot或ctg）
正割（sec）
余割（csc）

表格 參考資料來源： 現代漢語詞典[1]   ．

函數關系

倒數關系：①   ；②   ；③ 

商數關系：①   ；②   ．

平方關系：①   ；②   ；③   ．

 

常用角度三角函數 

sin30°=1/2            sin45°=√2/2       sin60°=√3/2

cos30°=√3/2         cos45°=√2/2        cos60°=1/2

tan30°=√3/3           tan45°=1           tan60°=√3

cot30°=√3              cot45°=1           cot60°=√3/3 

sin15°=（√6-√2）/4    sin75°=（√6+√2）/4     cos15°=（√6+√2）/4 

cos75°=（√6-√2）/4（這四個可根據sin（45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出）

sin18°=(√5-1)/4 (這個值在高中競賽和自招中會比較有用，即黃金分割的一半)  正

 

誘導公式

公式一：

設   為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：

公式二：

設   為任意角，   與   的三角函數值之間的關系：

公式三：

任意角   與   的三角函數值之間的關系：

公式四：

   與   的三角函數值之間的關系：

公式五：

   與   的三角函數值之間的關系：

公式六：

   及   與   的三角函數值之間的關系：

記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限[2]   ．即形如（2k+1）90°±α，則函數名稱變為余名函數，正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，余切變正切。形如2k×90°±α，則函數名稱不變。

誘導公式口訣“奇變偶不變，符號看象限”意義：

k×π/2±a(k∈z)的三角函數值．(1)當k為偶數時，等於α的同名三角函數值，前面加上一個把α看作銳角時原三角函數值的符號；
　　(2)當k為奇數時，等於α的異名三角函數值，前面加上一個把α看作銳角時原三角函數值的符號。

記憶方法一：奇變偶不變，符號看象限：
　　

記憶方法二：無論α是多大的角，都將α看成銳角．
　　

以誘導公式二為例：

若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π十α是第三象限的角（終邊在第三象限），正弦函數的函數值在第三象限是負值，余弦函數的函數值在第三象限是負值，正切函數的函數值在第三象限是正值．這樣，就得到了誘導公式二．
　　以誘導公式四為例：
　　

若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π-α是第二象限的角（終邊在第二象限），正弦函數的三角函數值在第二象限是正值，余弦函數的三角函數值在第二象限是負值，正切函數的三角函數值在第二象限是負值．這樣，就得到了誘導公式四．

誘導公式的應用：

運用誘導公式轉化三角函數的一般步驟：
　　

特別提醒：三角函數化簡與求值時需要的知識儲備：①熟記特殊角的三角函數值；②注意誘導公式的靈活運用；③三角函數化簡的要求是項數要最少，次數要最低，函數名最少，分母能最簡，易求值最好。

基本公式

和差角公式

二角和差公式

證明如圖：負號的情況只需要用- β代替 β即可．cot( α+ β)推導只需把角 α對邊設為1，過程與tan( α+ β)相同．

證明正切的和差角公式

證明正弦、余弦的和差角公式

三角和公式

和差化積公式

口訣：正加正，正在前，余加余，余並肩，正減正，余在前，余減余，負正弦．

積化和差公式

倍角公式

二倍角公式

三倍角公式

證明：

sin3a

=sin(a+2a)

=sin^2a·cosa+cos^2a·sina

=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina

=3sina-4sin^3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos^2acosa-sin^2asina

=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a

=3sina-4sin^3a

=4sina(3/4-sin^2a)

=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a

=4cos^3a-3cosa

=4cosa(cos^2a-3/4)

=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]

=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述兩式相比可得：

tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)

四倍角公式

sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sin^2a-1)]

cos4a=1+(-8*cos^2a+8*cos^4a)

tan4a=(4*tana-4*tan^3a)/(1-6*tan^2a+tan^4a)

五倍角公式

n倍角公式

應用 歐拉公式：   .

上式用於求n倍角的三角函數時，可變形為：

所以

其中，Re表示取實數部分，Im表示取虛數部分．而

所以

n倍角的三角函數

半角公式

（正負由   所在的象限決定）

萬能公式

輔助角公式

 

．

證明：

由於   ，顯然   ，且

故有：

其他公式

正弦定理

詳見詞條：正弦定理

在任意△ ABC中，角 A、 B、 C所對的邊長分別為 a、 b、 c，三角形 外接圓的半徑為 R．則有[3]   ：

正弦定理變形可得：

余弦定理

詳見詞條： 余弦定理

余弦定理

對於如圖所示的邊長為 a、 b、 c而相應角為 α、 β、 γ的△ ABC，有：

也可表示為：

降冪公式

sin²α=[1-cos(2α)]/2

cos²α=[1+cos(2α)]/2

tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

冪級數

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它們的各項都是 正整數冪的 冪函數, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數， 這種級數稱為冪級數。

泰勒展開式

泰勒展開式又叫冪級數展開法

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+…

實用冪級數：

ex= 1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+…,x∈R

ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1)

sin x = x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R

cos x = 1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…, x∈R

arcsin x = x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7)…+(2k+1)!!*x2k+1/(2k!!*(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表示雙階乘）[4]

arccos x = π/2 -[x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7)……], x∈(-1,1)

arctan x = x - x3/3 + x5/5 -…, x∈(-∞,1)

sinh x = x+x3/3!+x^/5!+…+x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R

cosh x = 1+x2/2!+x^4/4!+…+x2k/(2k)!+…, x∈R

arcsinh x =x - x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) -(1*3*5)x7/(2*4*6*7)…, x∈(-1,1)

arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + …, x∈(-1,1)

在解初等三角函數時，只需記住公式便可輕松作答，在競賽中，往往會用到與圖像結合的方法求三角函數值、三角函數 不等式、面積等等。

傅里葉級數

傅里葉級數

傅里葉級數又稱三角級數

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

 

出處：https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F