前言
為何引入
如果只用三角函數的值，僅僅是數的刻畫，沒有形的直觀，引入三角函數線這種有向線段后，就能實現數和形的統一，便於我們數形結合解決題目。
如何引入
如下圖所示，在單位圓中，\(r=|OP|=1\)，則依照正弦函數的定義得到，\(sin\theta=\cfrac{y}{r}=y\)，
而\(|y|=|MP|\)，如果將線段\(MP\)看成有向線段，則\(y=MP\)，所以\(\sin\theta=MP\)，這樣就實現了由數\(\Longrightarrow\)形的轉化；
同理，\(\cos\theta=OM\)，\(\tan\theta=AT\)，注意：線段是有向線段，比如正弦線始終是由點 \(M\) 指向點 \(P\) 的；
由三角函數線可以得到以下常用結論：
①三角函數值\(sin\theta\)、\(cos\theta\)、\(tan\theta\)的正負；
| 角度\(\theta\) | 第Ⅰ象限 | 第Ⅱ象限 | 第Ⅲ象限 | 第Ⅳ象限 |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin\theta\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\cos\theta\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(\tan\theta\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
②三角函數值的變化情況；
| 角度\(\theta\) | \(0\rightarrow\cfrac{\pi}{2}\) | \(\cfrac{\pi}{2}\rightarrow\pi\) | \(\pi\rightarrow\cfrac{3\pi}{2}\) | \(\cfrac{3\pi}{2}\rightarrow2\pi\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin\theta\) | \(0\rightarrow 1\) | \(1\rightarrow 0\) | \(0\rightarrow -1\) | \(-1\rightarrow 0\) |
| \(\cos\theta\) | \(1\rightarrow 0\) | \(0\rightarrow -1\) | \(-1\rightarrow 0\) | \(0\rightarrow 1\) |
| \(\tan\theta\) | \(0\rightarrow +\infty\) | \(-\infty\rightarrow 0\) | \(0\rightarrow +\infty\) | \(-\infty\rightarrow 0\) |
③大小比較 [儲備：這些知識在三角函數的化簡求值計算時可能需要用到]
當\(\theta\)的終邊落在直線\(y=x\)上時，\(sin\theta=cos\theta\)；
當\(\theta\)的終邊落在直線\(y=x\)右下方時，\(sin\theta<cos\theta\)；
當\(\theta\)的終邊落在直線\(y=x\)左上方時，\(sin\theta>cos\theta\)；
函數線作用
①解三角不等式，
【解析】三角不等式常用兩種解法，利用三角函數線或者三角函數圖像，詳解如下：
【1、單位圓+三角函數線】
如圖所示，由正弦線可知，\(sinx>0\)得到：\(x\in(2k\pi，2k\pi+\pi)(k\in Z)\)
由余弦線可知，\(cos2x\ge-\cfrac{1}{2}\)
得到：\(2x\in[2k\pi-\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}](k\in Z)\)，
所以\(x\in[k\pi-\cfrac{\pi}{3}，k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\\=[2k\pi-\cfrac{\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\bigcup[2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{4\pi}{3}](k\in Z)\)，
求其交集得到\(x\in(2k\pi，2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\bigcup[2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\pi)(k\in Z)\)
【2、三角函數法】轉化為解三角函數不等式組\(\begin{cases} sinx> 0 \\ cos2x+\frac{1}{2}\ge 0\end{cases}\)，
解不等式\(sinx>0\)
得到：\(x\in(2k\pi，2k\pi+\pi)(k\in Z)\)
解不等式\(cos2x\ge-\cfrac{1}{2}\)
得到：\(2x\in[2k\pi-\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}](k\in Z)\)，
所以\(x\in[k\pi-\cfrac{\pi}{3}，k\pi+\cfrac{\pi}{3}](k\in Z)\)，
求其交集得到\(x\in(2k\pi，2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\bigcup[2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\pi)(k\in Z)\)
②證明同角三角函數關系和誘導公式；
同角三角函數關系的證明，勾股定理；
關於誘導公式的證明，以\(\sin(\theta+\cfrac{\pi}{2})\)為例；
如圖所示，\(\sin\theta=MP\)，\(\cos\theta=OM\)，\(\sin(\theta+\cfrac{\pi}{2})=M'P'\)，\(\cos(\theta+\cfrac{\pi}{2})=OM'\)，
又由於\(Rt\triangle OMP\cong Rt\triangle P'M'O\)，故有\(M'P'=OM\)，即\(\sin(\theta+\cfrac{\pi}{2})=\cos\theta\)，
且有\(M'O=MP\)，即\(-\cos(\theta+\cfrac{\pi}{2})=\sin\theta\)，也即\(\cos(\theta+\cfrac{\pi}{2})=-\sin\theta\)，
③做三角函數圖像。
- 動畫演示用正弦線作正弦曲線的過程；
- 動畫演示用余弦線作余弦曲線的過程；