前言
为何引入
如果只用三角函数的值，仅仅是数的刻画，没有形的直观，引入三角函数线这种有向线段后，就能实现数和形的统一，便于我们数形结合解决题目。
如何引入
如下图所示，在单位圆中，\(r=|OP|=1\)，则依照正弦函数的定义得到，\(sin\theta=\cfrac{y}{r}=y\)，
而\(|y|=|MP|\)，如果将线段\(MP\)看成有向线段，则\(y=MP\)，所以\(\sin\theta=MP\)，这样就实现了由数\(\Longrightarrow\)形的转化；
同理，\(\cos\theta=OM\)，\(\tan\theta=AT\)，注意：线段是有向线段，比如正弦线始终是由点 \(M\) 指向点 \(P\) 的；
由三角函数线可以得到以下常用结论：
①三角函数值\(sin\theta\)、\(cos\theta\)、\(tan\theta\)的正负；
| 角度\(\theta\) | 第Ⅰ象限 | 第Ⅱ象限 | 第Ⅲ象限 | 第Ⅳ象限 |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin\theta\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\cos\theta\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(\tan\theta\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
②三角函数值的变化情况；
| 角度\(\theta\) | \(0\rightarrow\cfrac{\pi}{2}\) | \(\cfrac{\pi}{2}\rightarrow\pi\) | \(\pi\rightarrow\cfrac{3\pi}{2}\) | \(\cfrac{3\pi}{2}\rightarrow2\pi\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin\theta\) | \(0\rightarrow 1\) | \(1\rightarrow 0\) | \(0\rightarrow -1\) | \(-1\rightarrow 0\) |
| \(\cos\theta\) | \(1\rightarrow 0\) | \(0\rightarrow -1\) | \(-1\rightarrow 0\) | \(0\rightarrow 1\) |
| \(\tan\theta\) | \(0\rightarrow +\infty\) | \(-\infty\rightarrow 0\) | \(0\rightarrow +\infty\) | \(-\infty\rightarrow 0\) |
③大小比较 [储备：这些知识在三角函数的化简求值计算时可能需要用到]
当\(\theta\)的终边落在直线\(y=x\)上时，\(sin\theta=cos\theta\)；
当\(\theta\)的终边落在直线\(y=x\)右下方时，\(sin\theta<cos\theta\)；
当\(\theta\)的终边落在直线\(y=x\)左上方时，\(sin\theta>cos\theta\)；
函数线作用
①解三角不等式，
【解析】三角不等式常用两种解法，利用三角函数线或者三角函数图像，详解如下：
【1、单位圆+三角函数线】
如图所示，由正弦线可知，\(sinx>0\)得到：\(x\in(2k\pi，2k\pi+\pi)(k\in Z)\)
由余弦线可知，\(cos2x\ge-\cfrac{1}{2}\)
得到：\(2x\in[2k\pi-\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}](k\in Z)\)，
所以\(x\in[k\pi-\cfrac{\pi}{3}，k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\\=[2k\pi-\cfrac{\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\bigcup[2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{4\pi}{3}](k\in Z)\)，
求其交集得到\(x\in(2k\pi，2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\bigcup[2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\pi)(k\in Z)\)
【2、三角函数法】转化为解三角函数不等式组\(\begin{cases} sinx> 0 \\ cos2x+\frac{1}{2}\ge 0\end{cases}\)，
解不等式\(sinx>0\)
得到：\(x\in(2k\pi，2k\pi+\pi)(k\in Z)\)
解不等式\(cos2x\ge-\cfrac{1}{2}\)
得到：\(2x\in[2k\pi-\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}](k\in Z)\)，
所以\(x\in[k\pi-\cfrac{\pi}{3}，k\pi+\cfrac{\pi}{3}](k\in Z)\)，
求其交集得到\(x\in(2k\pi，2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\bigcup[2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\pi)(k\in Z)\)
②证明同角三角函数关系和诱导公式；
同角三角函数关系的证明，勾股定理；
关于诱导公式的证明，以\(\sin(\theta+\cfrac{\pi}{2})\)为例；
如图所示，\(\sin\theta=MP\)，\(\cos\theta=OM\)，\(\sin(\theta+\cfrac{\pi}{2})=M'P'\)，\(\cos(\theta+\cfrac{\pi}{2})=OM'\)，
又由于\(Rt\triangle OMP\cong Rt\triangle P'M'O\)，故有\(M'P'=OM\)，即\(\sin(\theta+\cfrac{\pi}{2})=\cos\theta\)，
且有\(M'O=MP\)，即\(-\cos(\theta+\cfrac{\pi}{2})=\sin\theta\)，也即\(\cos(\theta+\cfrac{\pi}{2})=-\sin\theta\)，
③做三角函数图像。
- 动画演示用正弦线作正弦曲线的过程；
- 动画演示用余弦线作余弦曲线的过程；