5.2 任意角的三角函数

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模块导图

知识剖析

任意角的三角函数的概念

设\(α\)是一个任意角，\(α∈R\)，它的终边\(OP\)与单位圆相交于点\(P(x,y)\).
① 把点\(P\)的纵坐标\(y\)叫做\(α\)的正弦函数，记作\(\sin α\)，即\(y=\sin α\)；
② 把点\(P\)的纵坐标\(x\)叫做\(α\)的余弦函数，记作\(\cos α\)，即\(x=\cos α\)；
③ 把点\(P\)的纵坐标\(\dfrac{y}{x}\)叫做\(α\)的正切函数，记作\(\tanα\)，即\(\dfrac{y}{x}=\tan \alpha(x \neq 0)\).

正弦函数\(f(x)=\sin x,x∈R\)；
余弦函数\(f(x)=\cos x,x∈R\)；
正切函数\(f(x)=\tan x,x≠\dfrac{\pi}{2}+kπ\)，
它们统称三角函数.
 

三角函数在各个象限的符号

根据三角函数定义可知它们在各个象限符号
(设\(α\)的终边上一点\(P(x,y)\)，\(\sin α\)符号看\(y\)，\(\cos α\)符号看\(x\)，\(\tan α\)符号看\(\dfrac{y}{x}\))
 

特殊角的三角函数值表

利用三角函数的定义求\(\alpha=0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, 2 \pi\)时对应的三角函数值.
\({\color{Red}{ Eg } }\) 如图所示，\(α=π\)的终边在\(x\)轴的负半轴，与\(x\)轴交点为\(P(-1,0)\)，
则\(\sin π=0\)，\(\cosπ=-1\)，\(\tanπ=0\).

 

同角三角函数基本关系式

\(\sin^2 α+\cos^2 α=1\) \(\tan \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
\({\color{Red}{ 拓展 } }\) \((\sin α+\cos α)^2=1+2\sin α\cos α\)；
\((\sin α-\cos α)^2=1-2\sin α\cos α\).
 

经典例题

【题型一】求三角函数值

【典题1】 已知角\(α\)的终边与单位圆的交点为\(P\left(-\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}\right)\)，则\(2\sinα+\tanα=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】 角\(α\)的终边与单位圆的交点为\(P\left(-\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}\right)\)，
则\(\sin \alpha=\dfrac{3}{5}\)，\(\tan \alpha=-\dfrac{3}{4}\)，
则\(2 \sin \alpha+\tan \alpha=\dfrac{6}{5}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{20}\)．
 

【典题2】 已知角\(θ\)的始边为\(x\)轴非负半轴，终边经过点\(P(1,2)\)，则\(\dfrac{\sin \theta}{\sin \theta+\cos \theta}=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】 \(∵\)角\(θ\)的始边为\(x\)轴非负半轴，终边经过点\(P(1,2)\)，
\(∴tanθ=2\)，
则\(\dfrac{\sin \theta}{\sin \theta+\cos \theta}=\dfrac{\tan \theta}{\tan \theta+1}=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}\)
【点拨】
① \(P(1,2)\)不在单位圆上，故\(\sin θ≠2，\cos θ≠1\).
② 设\(α\)是任意角，它的终边上任意一点\(P(x,y)\)，它与原点的距离是\(r\)，
则\(\sin \alpha=\dfrac{y}{r}\)，\(\cos \alpha=\dfrac{x}{r}\)，\(\tan \alpha=\dfrac{y}{x}\).
 

【题型二】确认三角函数的符号

【典题1】 \(\sin 2 \cdot \cos 3\cdot \tan 4\)的值(　　)
A．小于0 \(\qquad \qquad \qquad\) B．大于0 \(\qquad \qquad \qquad\) C．等于0 \(\qquad \qquad \qquad\) D．不存在
【解析】 因为\(\dfrac{\pi}{2}<2<\pi\)，\(\dfrac{\pi}{2}<3<\pi\),\(\pi<4<\dfrac{3 \pi}{2}\)，
所以\(2、3\)是第二象限角，4是第三象限角，
所以\(\sin 2>0\)，\(\cos 3<0\)，\(\tan 4>0\)，
从而\(\sin 2 \cdot \cos 3\cdot \tan 4\)，选\(A\).
 

【典题2】若\(\cos θ<0\)且\(\tan θ<0\)，则\(\dfrac{\theta}{2}\)终边在(　　)
A．第一象限 \(\qquad \qquad\) B．第二象限 \(\qquad \qquad\) C．第一或第三象限 \(\qquad \qquad\) D．第三或第四象限
【解析】 \(∵\cos θ<0\), \(∴θ\)是第二或三象限，
\(∵\tan θ<0\)，\(∴θ\)是第二或四象限，
\(∴θ\)是第二象限，即\(2 k \pi+\dfrac{\pi}{2}<\theta<2 k \pi+\pi\)，
\(\therefore k \pi+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\theta}{2}<k \pi+\dfrac{\pi}{2}\)，
\(∴\)可得\(\dfrac{\theta}{2}\)终边在第一或第三象限．故选：\(C\)．
 

【题型三】同角三角函数基本关系式

【典题1】 已知\(α∈(0,π)\)，\(\tan α=-2\)，则\(\cos \alpha=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】 \({\color{Red}{ 方法1 } }\)
\(∵\tan α=-2\)，\(\therefore \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-2\)，即\(\sin \alpha=-2 \cos \alpha\)，
又\(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 \Rightarrow \cos \alpha=\pm \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)，
\(∵α∈(0，π)\)，且\(\tan \alpha=-2<0\)，
\(∴α\)为第二象限角，\(\therefore \cos \alpha<0\)，
\(\therefore \cos \alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\).
\({\color{Red}{ 方法2 } }\) \(∵\tan α=-2\) ，构造直角三角形\(R t \Delta A B C\)如下图，

在直角三角形中，\(\cos \alpha=\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)，
\(∵α∈(0，π)\)，且\(\tan \alpha=-2<0\)
\(∴α\)为第二象限角，
\(\therefore \cos \alpha<0\) \(\therefore \cos \alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\).
【点拨】
① 若知\(\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha\)三者中一个的值，可求另外两个的值，即“知一得二”；
② 在非解答题中用方法二解题速度更快些，只是要多留意三角函数的符号.
 

【典题2】已知\(\sin \theta, \cos \theta\)是关于\(x\)的方程\(x^{2}-2 \sqrt{2} a x+a=0\)的两个根．
(1)求实数\(a\)的值；
(2)若\(\theta \in\left(-\dfrac{\pi}{2}, 0\right)\)，求\(\sin \theta-\cos \theta\)的值．
【解析】 (1)\(∵\sin \theta, \cos \theta\)是关于\(x\)的方程\(x^{2}-2 \sqrt{2} a x+a=0\)的两个根，
\(\therefore \sin \theta+\cos \theta=2 \sqrt{2} a\) ①，\(\sin \theta \cos \theta=a\) ②，
\(△=b^2-4ac=8a^2-4a≥0\)，
即\(a≤0\)或\(a \geq \dfrac{1}{2}\)，
\(\therefore(\sin \theta+\cos \theta)^{2}=1+2 \sin \theta \cos \theta=1+2 a=8 a^{2}\)，
即\(8a^2-2a-1=0\)，解得\(a=-\dfrac{1}{4}\)或\(\dfrac{1}{2}\)．
(2)\(\because \theta \in\left(-\dfrac{\pi}{2}, 0\right)\)，
\(\therefore \sin \theta<0, \quad \cos \theta>0\)，
可得\(\sin \theta \cos \theta=a<0\)，
由(1)可得\(a=-\dfrac{1}{4}\)，
\(\therefore \sin \theta \cos \theta=-\dfrac{1}{4}\)，
\(\therefore(\sin \theta-\cos \theta)^{2}=1-2 \sin \theta \cos \theta=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)，
又\(\sin \theta-\cos \theta<0\)
\(\therefore \sin \theta-\cos \theta=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\).
(注意判断\(\sin \theta-\cos \theta\)的正负)
【点拨】
① \((\sin α+\cos α)^2=1+2\sin α\cos α\)； $ (\sin α-\cos α)^2=1-2\sin α\cos α$.
② \(\sin \theta+\cos \theta\)、\(\sin \theta-\cos \theta\)、\(\sin \theta\cos \theta\)也是“知一得二”.
 

【典题3】已知\(\tan α\)是关于\(x\)的方程\(2x^2-x-1=0\)的一个实根，且\(α\)是第三象限角．
(1) 求\(\dfrac{2 \sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}\)的值；
(2) 求\(3 \sin ^{2} \alpha-\sin \alpha \cos \alpha+2 \cos ^{2} \alpha\)的值．
【解析】 (1)\(\because \tan \alpha\)是关于\(x\)的方程\(2x^2-x-1=0\)的一个实根，且\(α\)是第三象限角，
\(\therefore \tan \alpha=1\)或\(\tan \alpha=-\dfrac{1}{2}\)(舍去)，
\(\therefore \dfrac{2 \sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}=\dfrac{2 \tan \alpha-1}{\tan \alpha+1}=\dfrac{1}{2}\)．
(2)\(3 \sin ^{2} \alpha-\sin \alpha \cos \alpha+2 \cos ^{2} \alpha\)
\(=\dfrac{3 \sin ^{2} \alpha-\sin \alpha \cos \alpha+2 \cos ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}\)
\(=\dfrac{3 \tan ^{2} \alpha-\tan \alpha+2}{\tan ^{2} \alpha+1}\)
\(=\dfrac{3-1+2}{2}=2\)
【点拨】
① 弦化切技巧
若已知\(\tan \alpha\)，可求\(\dfrac{a \cdot \sin \alpha+b \cdot \cos \alpha}{c \cdot \sin \alpha+d \cdot \cos \alpha}\)或\(\dfrac{a \cdot \sin ^{2} \alpha+b \cdot \sin \alpha \cos \alpha+c \cdot \cos ^{2} \alpha}{d \cdot \sin ^{2} \alpha+e \cdot \sin \alpha \cos \alpha+f \cdot \cos ^{2} \alpha}\)分子分母齐次的形式，可分子分母同
除以\(\cos \alpha\)或\(\cos ^{2} \alpha\)，化为关于\(\tan \alpha\)的式子.
② 本题巧妙利用了\(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1\)，当遇到类似\(3 \sin ^{2} \alpha-\sin \alpha \cos \alpha+2 \cos ^{2} \alpha\)化为分子分母齐次的形式.对\(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1\)的巧用要注意.
③ 本题若是选择填空题当然也可以通过\(\tan \alpha=1\)，求出\(\sin \alpha\)、\(\cos \alpha\)的值，容易想到且计算量也不大，值得考虑.
 

【典题4】 已知\(3 \sin \alpha+4 \cos \alpha=5\)，求\(\tan \alpha\).
【解析】 \({\color{Red}{ 方法1 \quad 解方程组法 } }\)
由\(\left\{\begin{array}{l} 3 \sin \alpha+4 \cos \alpha=5 \\ \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 \end{array}\right.\)
得\(25 \sin ^{2} \alpha-30 \sin \alpha+9=0\)，
解得\(\sin \alpha=\dfrac{3}{5}\)，
\(\therefore \cos \alpha=\dfrac{4}{5}\) \(\therefore \tan \alpha=\dfrac{3}{4}\).
\({\color{Red}{ 方法2 \quad “对偶式”法 } }\)
设\(4 \sin \alpha-3 \cos \alpha=x\)，等式两边平方得\(16 \sin ^{2} \alpha-24 \sin \alpha \cos \alpha+9 \cos ^{2} \alpha=x^{2}\) ①
将\(3 \sin \alpha+4 \cos \alpha=5\)两边平方，得\(9 \sin ^{2} \alpha+24 \sin \alpha \cos \alpha+16 \cos ^{2} \alpha=25\) ②
由①+②得，\(25=x^2+25\)，解得\(x=0\)，
\(\therefore 4 \sin \alpha-3 \cos \alpha=0\)
\(\therefore \tan \alpha=\dfrac{3}{4}\)
\({\color{Red}{ 方法3 \quad “弦化切”法 } }\)
将\(3 \sin \alpha+4 \cos \alpha=5\)两边平方，得\(9 \sin ^{2} \alpha+24 \sin \alpha \cos \alpha+16 \cos ^{2} \alpha=25\)
即\(\dfrac{9 \sin ^{2} \alpha+24 \sin \alpha \cos \alpha+16 \cos ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=25\)，
即\(\dfrac{9 \tan ^{2} \alpha+24 \tan \alpha+16}{\tan ^{2} \alpha+1}=25\)，
解得\(\tan \alpha=\dfrac{3}{4}\).
 

巩固练习

1(★) 已知角\(α\)的项点与坐标原点重合，始边与\(x\)轴的非负半轴重合，若点\(P(2,-1)\)在角\(α\)的终边上，则\(\tanα=\)(　　)
A．\(2\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C\(-\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(－2\)
 

2(★)若\(θ\)为第二象限角，则下列结论一定成立的是(　　)
A．\(\sin \dfrac{\theta}{2}>0\) \(\qquad \qquad\) B．\(\cos \dfrac{\theta}{2}>0\) \(\qquad \qquad\) C．\(\tan \dfrac{\theta}{2}>0\) \(\qquad \qquad\) D．\(\sin \dfrac{\theta}{2} \cos \dfrac{\theta}{2}<0\)
 

3(★) 已知\(\cos \alpha=-\dfrac{4}{5}\)，且\(α\)为第二象限角，那么\(\tan \alpha=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
 

4(★) 如果角\(θ\)满足\(\sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2}\)，那\(\tan \theta+\dfrac{1}{\tan \theta}=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
 

5(★★) 已知\(\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\)，且\(\sin \alpha+\cos \alpha=\dfrac{1}{5}\)，则\(\sin \alpha-\cos \alpha=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
 

6(★★) 若\(\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\)，且\(\cos ^{2} \alpha-\sin \alpha=\dfrac{1}{4}\)，则\(\tan \alpha=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
 

7(★★)已知\(\tan \alpha=2\)，则\(\dfrac{1}{\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha}=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
 

8(★★)若\(\cos \theta-2 \sin \theta=1\)，则\(\tan \theta=\) \(\underline{\quad \quad}\).
 
 

挑战学霸
若\(0<x<\dfrac{\pi}{2}\)，证明\(\sin x<x<\tan x\).
 

答案

1. \(C\)
2. \(C\)
3. \(-\dfrac{3}{4}\)
4. \(2\)
5. \(\dfrac{7}{5}\)
6. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
7. \(\dfrac{5}{3}\)
8. \(0\)或\(\dfrac{4}{3}\)

【挑战学霸】
解 如上图，在单位圆中，\(\sin x=A B\) ̂，\(\tan x=C D\)，\(x=\widehat{A D}\)，
显然\(\sin x<x<\tan x\).