设角 \(\alpha\) 的终边与单位圆交于点 \(P(x,y)\) ，则有
\[\sin{\alpha}=y,\cos{\alpha}=x \]
\[\tan{\alpha}=\frac{y}{x},\cot{\alpha}=\frac{x}{y} \]
\[\sec{\alpha}=\frac{1}{x},\csc{\alpha}=\frac{1}{y} \]
同角三角函数的基本关系
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倒数关系
\[\tan{\alpha} \cot{\alpha}=1 \]\[\sin{\alpha} \csc{\alpha}=1 \]\[\cos{\alpha} \sec{\alpha}=1 \] -
商的关系
\[\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\tan{\alpha}=\frac{\sec{\alpha}}{\csc{\alpha}}=\frac{1}{\cot{\alpha}} \] -
平方关系
\[\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1 \]
诱导公式
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。
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\(\alpha\) 与 \(\alpha + \pi\) 间三角函数值的关系
\[\sin{(\alpha + \pi)}=-\sin{\alpha} \]\[\cos{(\alpha + \pi)}=-\cos{\alpha} \]\[\tan{(\alpha+\pi)}=\tan{\alpha} \]\[\cot{(\alpha+\pi)}=\cot{\alpha} \] -
\(\alpha\) 与 \(-\alpha\) 间三角函数值的关系
\[\sin{(-\alpha)}=-\sin{\alpha} \]\[\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha} \]\[\tan{(-\alpha)}=-\tan{\alpha} \]\[\cot{(-\alpha)}=-\cot{\alpha} \] -
\(\alpha\) 与 \(\pi-\alpha\) 间三角函数的关系
\[\sin{(\pi-\alpha)}=\sin{\alpha} \]\[\cos(\pi-\alpha)=-\cos{\alpha} \]\[\tan(\pi-\alpha)=-\tan{\alpha} \]\[\cot{(\pi-\alpha)}=-\cot{\alpha} \] -
\(\alpha\) 与 \(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\) 间三角函数的关系
\[\sin{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=\cos{\alpha} \]\[\cos{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=-\sin{\alpha} \]\[\tan{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=-\cot{\alpha} \]\[\cot{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=-\tan{\alpha} \]\[\sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\cos{\alpha} \]\[\cos{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\sin{\alpha} \]\[\tan{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\cot{\alpha} \]\[\cot{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\tan{\alpha} \]
三角函数的和差公式
\[\cos{(x\pm y)}=\cos{x}\cos{y} \ \mp \ \sin{x}\sin{y} \]
\[\sin(x\pm y)=\sin{x}\sin{y} \ \pm \ \cos{x}\cos{y} \]
\[\tan{(x\pm y)}=\frac{\tan{x} \ \pm \ \tan{y}}{1 \ \mp \ \tan{x}\tan{y}} \]
倍角公式
\[\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x} \]
\[\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=2cos^2{x}-1=1-2\sin^2{x} \]
\[\tan{2x}=\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}} \]
降幂公式
\[\sin^2{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{2} \]
\[\cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{1+\cos{x}}{2} \]
\[\tan^2{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}} \]
升幂公式
\[1+\cos{2x}=2\cos^2{x} \]
\[1-\cos{2x}=2\sin^2{x} \]
辅助角公式
\[a\sin{x}+b\cos{x}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(x+\varphi)} \]
其中， \(\cos{\varphi}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ， \(\sin{\varphi}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) 。
万能公式
\[\cos{x}=\frac{1-\tan^2{\frac{x}{2}}}{1+\tan^2{\frac{x}{2}}} \]
\[\sin{x}=\frac{2\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan^2{\frac{x}{2}}} \]
\[\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\frac{2\tan{\frac{x}{2}}}{1-\tan^2{\frac{x}{2}}} \]