三角函数的定义

前言

任何事物都是在发展中不断地完善的，数学概念的学习和理解也是一样的，我们以三角函数的定义为例，加以说明；

概念沿革

• 初中定义：由于受初中学生的认知能力和角的范围的限制，我们只能在 \(Rt\triangle\) 中定义三角函数[用形来定义]：

\[\sin\theta=\cfrac{\textbf{对边}}{\textbf{斜边}} ，\quad\cos\theta=\cfrac{\textbf{邻边}}{\textbf{斜边}}，\quad\tan\theta=\cfrac{\textbf{对边}}{\textbf{邻边}} \]

这种定义方式，其缺陷是三角函数的自变量 \(\theta\) 的范围只能是 \([0^{\circ}，90^{\circ}]\)，而高中数学中的角的范围已经扩充到了 \((-\infty，+\infty)\) ，显然上述的初中定义已经不能用了，需要更新，应该怎么更新呢？

• 高中定义：将角放置到平面直角坐标系中，初始边放置到\(x\)轴的非负半轴上，终边随其落在某个象限或者坐标轴上，然后在终边上任取一点(不是原点) \(P(x，y)\) ，则 \(r=|OP|=\sqrt{x^2+y^2}\) ，则[用数来定义]：

\[\sin\theta=\cfrac{y}{r} ，\quad \cos\theta=\cfrac{x}{r} ， \quad\tan\theta=\cfrac{y}{x} \]

很显然，这种定义方式可以刻画 \((-\infty，+\infty)\) 范围内的任意一个角的三角函数，而且兼容范围 \([0^{\circ}，90^{\circ}]\) ，也就是说高中的三角函数的定义同样能解释初中的三角函数的定义，体现了数学概念发展的扬弃。

典例剖析

在平面直角坐标系中，角 \(\alpha\) 的顶点在坐标原点，始边与 \(x\) 轴的非负半轴重合，若角 \(\alpha\) 的终边经过点 \(P\)\((\sin47^{\circ}\)\(,\)\(\cos47^{\circ})\) ，则 \(\sin(\alpha-13^{\circ})\)的值为【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{1}{2}$ $B.\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ $C.-\cfrac{1}{2}$ $D.-\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

法1：利用三角函数的定义，令 \(P(x,y)\) ，则可知 \(x=\sin47^{\circ}\) ， \(y=\cos47^{\circ}\)，

则 \(r=|OP|=\sqrt{\sin^247^{\circ}+\cos^247^{\circ}}=1\)，

故 \(\sin\alpha=\cfrac{y}{r}=\cos47^{\circ}\) ， \(\cos\alpha=\cfrac{x}{r}=\sin47^{\circ}\) ，

则\(\sin(\alpha-13^{\circ})=\sin\alpha\cos13^{\circ}-\cos\alpha\sin13^{\circ}\)

\(=\cos47^{\circ}\cos13^{\circ}-\sin47^{\circ}\sin13^{\circ}\)

\(=\cos(47^{\circ}+13^{\circ})=\cos60^{\circ}=\cfrac{1}{2}\)，故选 \(A\).

法2：借助单位圆上点的坐标， 由于 \(\sin47^{\circ}=\cos43^{\circ}\)， \(\cos47^{\circ}=\sin43^{\circ}\)，

点 \(P\) 的坐标为 \((\cos43^{\circ},\sin43^{\circ})\) ，即 \(\alpha=43^{\circ}\)，

[或 \(\alpha=k\times 360^{\circ}+43^{\circ}\)，\(k\in Z\)，此处从简，取\(k=0\) ]

故 \(\sin(\alpha-13^{\circ})=\sin(43^{\circ}-13^{\circ})=\sin30^{\circ}=\cfrac{1}{2}\)，故选 \(A\).

在平面直角坐标系中，以坐标原点为顶点， \(x\) 轴的非负半轴为始边，若角 \(\alpha\) 的终边过点 \(P(3,4)\) ，且将角 \(\alpha\) 的终边绕原点逆时针旋转 \(\cfrac{\pi}{2}\) 得到的终边与角 \(\beta\) 的终边重合，则 \(\sin2\beta\)=【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{12}{25}$ $B.-\cfrac{12}{25}$ $C.-\cfrac{24}{25}$ $D.\cfrac{24}{25}$

解析：由三角函数定义可知， \(r=|OP|=5\)，则 \(\sin\alpha=\cfrac{4}{5}\)， \(\cos\alpha=\cfrac{3}{5}\)，

又由于角 \(\alpha\) 的终边绕原点逆时针旋转 \(\cfrac{\pi}{2}\) 得到的终边与角 \(\beta\) 的终边重合，则 \(\beta=\alpha+\cfrac{\pi}{2}\)，

故 \(\sin2\beta=\sin2(\alpha+\cfrac{\pi}{2})=\sin(2\alpha+\pi)=-\sin2\alpha=-2\sin\alpha\cos\alpha=-\cfrac{24}{25}\)，故选 \(C\).

已知点 \(A(\cos10^{\circ},\sin10^{\circ})\)， \(B(\cos100^{\circ},\sin100^{\circ})\)，则 \(|AB|\)=【\(\qquad\)】

$A.1$ $B.\sqrt{2}$ $C.\sqrt{3}$ $D.2$

法1：利用两点间距离公式，通过三角函数运算解答，

\(|AB|=\sqrt{(\cos10^{\circ}-\cos100^{\circ})^2+(\sin10^{\circ}-\sin100^{\circ})^2}\)

\(=\sqrt{1+1-2(\cos10^{\circ}\cdot\cos100^{\circ}+\sin10^{\circ}\cdot\sin100^{\circ})}\)

\(=\sqrt{2-2\cos(10^{\circ}-100^{\circ})}=\sqrt{2}\)， 故选 \(B\) .

法2：利用单位圆和勾股定理解得，

如图所示，由于 \(A(\cos10^{\circ},\sin10^{\circ})\)， \(B(\cos100^{\circ},\sin100^{\circ})\)，

则点 \(A\) 和点 \(B\) 都位于单位圆上，\(OA=OB=1\)， 且 \(OA\perp OB\)，

则由勾股定理可知， \(|AB|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) . 故选 \(B\) .