三角函數的定義

前言

任何事物都是在發展中不斷地完善的，數學概念的學習和理解也是一樣的，我們以三角函數的定義為例，加以說明；

概念沿革

• 初中定義：由於受初中學生的認知能力和角的范圍的限制，我們只能在 \(Rt\triangle\) 中定義三角函數[用形來定義]：

\[\sin\theta=\cfrac{\textbf{對邊}}{\textbf{斜邊}} ，\quad\cos\theta=\cfrac{\textbf{鄰邊}}{\textbf{斜邊}}，\quad\tan\theta=\cfrac{\textbf{對邊}}{\textbf{鄰邊}} \]

這種定義方式，其缺陷是三角函數的自變量 \(\theta\) 的范圍只能是 \([0^{\circ}，90^{\circ}]\)，而高中數學中的角的范圍已經擴充到了 \((-\infty，+\infty)\) ，顯然上述的初中定義已經不能用了，需要更新，應該怎么更新呢？

• 高中定義：將角放置到平面直角坐標系中，初始邊放置到\(x\)軸的非負半軸上，終邊隨其落在某個象限或者坐標軸上，然后在終邊上任取一點(不是原點) \(P(x，y)\) ，則 \(r=|OP|=\sqrt{x^2+y^2}\) ，則[用數來定義]：

\[\sin\theta=\cfrac{y}{r} ，\quad \cos\theta=\cfrac{x}{r} ， \quad\tan\theta=\cfrac{y}{x} \]

很顯然，這種定義方式可以刻畫 \((-\infty，+\infty)\) 范圍內的任意一個角的三角函數，而且兼容范圍 \([0^{\circ}，90^{\circ}]\) ，也就是說高中的三角函數的定義同樣能解釋初中的三角函數的定義，體現了數學概念發展的揚棄。

典例剖析

在平面直角坐標系中，角 \(\alpha\) 的頂點在坐標原點，始邊與 \(x\) 軸的非負半軸重合，若角 \(\alpha\) 的終邊經過點 \(P\)\((\sin47^{\circ}\)\(,\)\(\cos47^{\circ})\) ，則 \(\sin(\alpha-13^{\circ})\)的值為【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{1}{2}$ $B.\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ $C.-\cfrac{1}{2}$ $D.-\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

法1：利用三角函數的定義，令 \(P(x,y)\) ，則可知 \(x=\sin47^{\circ}\) ， \(y=\cos47^{\circ}\)，

則 \(r=|OP|=\sqrt{\sin^247^{\circ}+\cos^247^{\circ}}=1\)，

故 \(\sin\alpha=\cfrac{y}{r}=\cos47^{\circ}\) ， \(\cos\alpha=\cfrac{x}{r}=\sin47^{\circ}\) ，

則\(\sin(\alpha-13^{\circ})=\sin\alpha\cos13^{\circ}-\cos\alpha\sin13^{\circ}\)

\(=\cos47^{\circ}\cos13^{\circ}-\sin47^{\circ}\sin13^{\circ}\)

\(=\cos(47^{\circ}+13^{\circ})=\cos60^{\circ}=\cfrac{1}{2}\)，故選 \(A\).

法2：借助單位圓上點的坐標， 由於 \(\sin47^{\circ}=\cos43^{\circ}\)， \(\cos47^{\circ}=\sin43^{\circ}\)，

點 \(P\) 的坐標為 \((\cos43^{\circ},\sin43^{\circ})\) ，即 \(\alpha=43^{\circ}\)，

[或 \(\alpha=k\times 360^{\circ}+43^{\circ}\)，\(k\in Z\)，此處從簡，取\(k=0\) ]

故 \(\sin(\alpha-13^{\circ})=\sin(43^{\circ}-13^{\circ})=\sin30^{\circ}=\cfrac{1}{2}\)，故選 \(A\).

在平面直角坐標系中，以坐標原點為頂點， \(x\) 軸的非負半軸為始邊，若角 \(\alpha\) 的終邊過點 \(P(3,4)\) ，且將角 \(\alpha\) 的終邊繞原點逆時針旋轉 \(\cfrac{\pi}{2}\) 得到的終邊與角 \(\beta\) 的終邊重合，則 \(\sin2\beta\)=【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{12}{25}$ $B.-\cfrac{12}{25}$ $C.-\cfrac{24}{25}$ $D.\cfrac{24}{25}$

解析：由三角函數定義可知， \(r=|OP|=5\)，則 \(\sin\alpha=\cfrac{4}{5}\)， \(\cos\alpha=\cfrac{3}{5}\)，

又由於角 \(\alpha\) 的終邊繞原點逆時針旋轉 \(\cfrac{\pi}{2}\) 得到的終邊與角 \(\beta\) 的終邊重合，則 \(\beta=\alpha+\cfrac{\pi}{2}\)，

故 \(\sin2\beta=\sin2(\alpha+\cfrac{\pi}{2})=\sin(2\alpha+\pi)=-\sin2\alpha=-2\sin\alpha\cos\alpha=-\cfrac{24}{25}\)，故選 \(C\).

已知點 \(A(\cos10^{\circ},\sin10^{\circ})\)， \(B(\cos100^{\circ},\sin100^{\circ})\)，則 \(|AB|\)=【\(\qquad\)】

$A.1$ $B.\sqrt{2}$ $C.\sqrt{3}$ $D.2$

法1：利用兩點間距離公式，通過三角函數運算解答，

\(|AB|=\sqrt{(\cos10^{\circ}-\cos100^{\circ})^2+(\sin10^{\circ}-\sin100^{\circ})^2}\)

\(=\sqrt{1+1-2(\cos10^{\circ}\cdot\cos100^{\circ}+\sin10^{\circ}\cdot\sin100^{\circ})}\)

\(=\sqrt{2-2\cos(10^{\circ}-100^{\circ})}=\sqrt{2}\)， 故選 \(B\) .

法2：利用單位圓和勾股定理解得，

如圖所示，由於 \(A(\cos10^{\circ},\sin10^{\circ})\)， \(B(\cos100^{\circ},\sin100^{\circ})\)，

則點 \(A\) 和點 \(B\) 都位於單位圓上，\(OA=OB=1\)， 且 \(OA\perp OB\)，

則由勾股定理可知， \(|AB|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) . 故選 \(B\) .