三角函數的圖像

已知函數 \(f(x)=2\sin(\omega x+\varphi),(\omega>0,0<\varphi<\pi),f\Big(\dfrac{\pi}{8}\Big)=\sqrt2,f\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big)=0\) ，且 \(f(x)\) 在 \((0,\pi)\) 上單調，下列說法正確的是 \((\qquad)\)

A. \(\omega=\dfrac12\)

B. \(f\Big(-\dfrac{\pi}{8}\Big)=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{2}\)

C. 函數 \(f(x)\) 在 \(\Big[-\pi,-\dfrac{\pi}{2}\Big]\) 上單調遞增

D. 函數 \(f(x)\) 的圖像關於點 \(\Big(\dfrac{3\pi}{4},0\Big)\) 對稱

解析：

結合題目條件，畫出唯一符合題意得圖像如下

由圖可得

\[\dfrac{T}{8}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}8=\dfrac{3\pi}{8} \]

所以

\[T=3\pi,\omega=\dfrac23 \]

所以

\[f(x)=2\sin\Big(\dfrac23x+\dfrac{2\pi}{3}\Big) \]

易知選項 \(A\) 錯誤；而 \(f\Big(-\dfrac{\pi}{8}\Big)=2\sin\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\) ，故選項 \(B\) 錯誤；求得 \(f(x)\) 的單調遞增區間為 \(\Big[-\dfrac{7\pi}{4}+3k\pi,-\dfrac{\pi}{4}+3k\pi\Big],k\in{\rm Z}\) ，當 \(k=0\) 時，\(\Big[-\pi,-\dfrac{\pi}{2}\Big]\subseteq\Big[-\dfrac{7\pi}4,-\dfrac{\pi}{4}\Big]\) ，故選項 \(C\) 正確；求得 \(f(x)\) 的對稱中心為 \(\Big(-\pi+\dfrac32k\pi,0\Big)\) ，故選項 \(D\) 錯誤。

答案：\(C\) .