前言
以下是正弦型函數\(f(x)=2\sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\)的平移效果圖像，可以自己體會一番；
動手體驗，反思總結：
①.將周期函數的圖像平移后，若所得圖像與原圖像重合，則平移長度必然等於周期 \(T\) 的整數倍 \(k(k\in \Z)\) ，或者平移前后的自變量整體差值為周期 \(T\) 的整數倍 \(k(k\in \Z)\) ；
思路1：由平移長度必然等於周期的整數倍得到，\(\cfrac{\pi}{3}=k\cdot \cfrac{2\pi}{\omega}\)，\((k\in \Z)\)；
整理得到\(\omega=6k(\omega >0)\)，故\(\omega_{min}=6\)；
思路2：由平移前后的自變量整體差值為\(k\cdot 2\pi(k\in \Z)\)得到，
即\(\omega(x+\cfrac{\pi}{3})+\cfrac{\pi}{4}=\omega x+\cfrac{\pi}{4}+2k\pi\)，\((k\in \Z)\)；
整理得到\(\omega=6k(\omega>0)\)，故\(\omega_{min}=6\)；
②.將周期函數的圖像平移后，若所得圖像與原圖像對稱軸重合，則平移長度必然等於半周期\(\cfrac{T}{2}\)的整數倍\(k(k\in \Z)\)，或者平移前后的自變量整體差值為半周期\(\cfrac{T}{2}\)的整數倍\(k(k\in \Z)\)；
典例剖析
法1：將函數\(y=2sin(\omega x-\cfrac{\pi}{4})(\omega >0)\)的圖象向左平移\(\cfrac{\pi}{4}\)個單位長度后，
得到\(y=2sin[\omega (x+\cfrac{\pi}{4})-\cfrac{\pi}{4}]=2sin(\omega x+\cfrac{(\omega-1)\pi}{4})\)；
將函數\(y=2sin(\omega x-\cfrac{\pi}{4})(\omega >0)\)的圖象向右平移\(\cfrac{\pi}{4}\)個單位長度后，
得到\(y=2sin[\omega (x-\cfrac{\pi}{4})-\cfrac{\pi}{4}]=2sin(\omega x-\cfrac{(\omega+1)\pi}{4})\)；
由於平移后的對稱軸重合，故自變量的整體差值為\(k\pi\)將兩個自變量都視為整體，則其\(T=2\pi\)，半周期為\(\pi\)，故其差值為\(k\pi\)。\(\quad\)，
故\(\omega x+\cfrac{(\omega-1)\pi}{4}=\omega x-\cfrac{(\omega+1)\pi}{4}+k\pi(k\in \Z)\)；
化簡得到\(\omega=2k(k\in \Z)\)，又\(\omega>0\)， 故\(\omega_{min}=2\)。
法2：將函數\(y=2sin(\omega x-\cfrac{\pi}{4})(\omega >0)\)的圖象向左平移\(\cfrac{\pi}{4}\)個單位長度后，
由於周期的作用，其實平移的長度是\(\cfrac{\pi\omega}{4}\)；
將函數\(y=2sin(\omega x-\cfrac{\pi}{4})(\omega >0)\)的圖象向右平移\(\cfrac{\pi}{4}\)個單位長度后，
由於周期的作用，其實平移的長度也是\(\cfrac{\pi\omega}{4}\)；
這樣的平移效果，相當於視原圖像不動，再將其圖像一次平移距離為\(\cfrac{2\pi\omega}{4}\)；
由於平移后兩個函數的對稱軸重合，故平移距離應該是半周期的整數倍，即\(k\pi\)，即\(\cfrac{2\pi\omega}{4}=k\pi\)，
化簡得到\(\omega=2k(k\in Z)\)，又\(\omega>0\)，故\(\omega_{min}=2\)。
法1：由題意得，\(f(x)=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x=2\sin(2x-\cfrac{\pi}{6})\)，
則 \(g(x)=2\sin[2(x+t)-\cfrac{\pi}{6}]=2\sin(2x+2t-\cfrac{\pi}{6})\)，
又由題意得， \(g(x)=g(\cfrac{\pi}{12}-x)\)， 則變換得到下式，
則 \(2\sin(2x+2t-\cfrac{\pi}{6})=2\sin[2(\cfrac{\pi}{12}-x)+2t-\cfrac{\pi}{6}]=-2\sin(2x-2t)\)
即\(\sin(2x+2t-\cfrac{\pi}{6})=-\sin(2x-2t)\)，
故有\(2x+2t-\cfrac{\pi}{6}=2x-2t+(2k+1)\pi\)，\(k\in \Z\)，
即\(4t=(2k+1)\pi+\cfrac{\pi}{6}\)，\(k\in \Z\)，
又由於\(t>0\)，故當\(k=0\)時，\(t_{\min}=\cfrac{7\pi}{24}\)，故選\(B\).
對以上的三角方程作以抽象，即可得到三角方程的最簡模型：
由\(\sin(2x+\theta)\)\(=\)\(\sin(2x-2\theta+t)\)從數的角度刻畫為\(\sin\)\((2x\)\(+\)\(\theta\)\()\)\(=\)\(\sin\)\((2x\)\(-\)\(2\theta\)\(+\)\(t)\)，而從形的角度可以刻畫為兩個函數的圖像完全重合；\(\quad\)，可以得到\(2x\)\(+\)\(\theta\)\(=\)\(2x\)\(-\)\(2\theta\)\(+\)\(t\)\(+2k\pi\)，\(k\in \Z\)；
由\(\sin(2x+\theta)\)\(=\)\(-\sin(2x-2\theta+t)\)從數的角度刻畫為\(\sin(2x\)\(+\)\(\theta)\)\(=\)\(-\sin\)\((2x\)\(-\)\(2\theta\)\(+\)\(t)\)，而從形的角度可以刻畫為兩個函數的圖像關於\(x\)軸對稱；或者兩個函數圖像的對稱軸重合；\(\quad\)，可以得到\(2x\)\(+\)\(\theta\)\(=\)\(2x\)\(-\)\(2\theta\)\(+\)\(t\)\(+\)\((2k+1)\pi\)，\(k\in \Z\)；
法2：由題意得，\(f(x)=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x=2\sin(2x-\cfrac{\pi}{6})\)，
則 \(g(x)=2\sin[2(x+t)-\cfrac{\pi}{6}]=2\sin(2x+2t-\cfrac{\pi}{6})\)，
又由題意得， \(g(x)=g(\cfrac{\pi}{12}-x)\)， 即\(x=\cfrac{\pi}{24}\)為函數\(g(x)\)的對稱軸，
即\(x=\cfrac{\pi}{24}\)能使得函數\(g(x)\)的值取到最值；
故\(2\times\cfrac{\pi}{24}+2t-\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in \Z\)；
整理為\(t=\cfrac{kt}{2}+\cfrac{7\pi}{24}\)，\(k\in \Z\)；
又由於\(t>0\)，故當\(k=0\)時，\(t_{\min}=\cfrac{7\pi}{24}\)，故選\(B\).
等價刻畫
- 為控制難度，便於理解，暫時只涉及正(余)弦型，正切型可以類比分析；
①當平移前和平移后，圖像完全重合，則平移的距離一定是周期 \(T\) 的整數倍 \(k(k\in \Z)\)；
②當平移的距離是周期 \(T\) 的整數倍 \(k(k\in \Z)\) 時，則其圖像必然完全重合，或者所有性質都相同；
③當平移前和平移后，函數的單調性完全相同，則平移的距離一定是周期 \(T\) 的整數倍 \(k(k\in \Z)\)；
④當平移前和平移后，圖像的對稱軸完全重合，則平移的距離一定是半周期 \(\cfrac{T}{2}\) 的偶數倍 \(2k(k\in \Z)\)；
⑤當平移前和平移后，兩個圖像關於\(x\)軸對稱，則平移的距離一定是半周期 \(\cfrac{T}{2}\) 的奇數倍 \(2k+1(k\in \Z)\)；
⑥當平移前和平移后，函數的單調性完全相反，則平移的距離一定是半周期 \(\cfrac{T}{2}\) 的奇數倍 \(2k+1(k\in \Z)\)；