前言
以下是正弦型函数\(f(x)=2\sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\)的平移效果图像，可以自己体会一番；
动手体验，反思总结：
①.将周期函数的图像平移后，若所得图像与原图像重合，则平移长度必然等于周期 \(T\) 的整数倍 \(k(k\in \Z)\) ，或者平移前后的自变量整体差值为周期 \(T\) 的整数倍 \(k(k\in \Z)\) ；
思路1：由平移长度必然等于周期的整数倍得到，\(\cfrac{\pi}{3}=k\cdot \cfrac{2\pi}{\omega}\)，\((k\in \Z)\)；
整理得到\(\omega=6k(\omega >0)\)，故\(\omega_{min}=6\)；
思路2：由平移前后的自变量整体差值为\(k\cdot 2\pi(k\in \Z)\)得到，
即\(\omega(x+\cfrac{\pi}{3})+\cfrac{\pi}{4}=\omega x+\cfrac{\pi}{4}+2k\pi\)，\((k\in \Z)\)；
整理得到\(\omega=6k(\omega>0)\)，故\(\omega_{min}=6\)；
②.将周期函数的图像平移后，若所得图像与原图像对称轴重合，则平移长度必然等于半周期\(\cfrac{T}{2}\)的整数倍\(k(k\in \Z)\)，或者平移前后的自变量整体差值为半周期\(\cfrac{T}{2}\)的整数倍\(k(k\in \Z)\)；
典例剖析
法1：将函数\(y=2sin(\omega x-\cfrac{\pi}{4})(\omega >0)\)的图象向左平移\(\cfrac{\pi}{4}\)个单位长度后，
得到\(y=2sin[\omega (x+\cfrac{\pi}{4})-\cfrac{\pi}{4}]=2sin(\omega x+\cfrac{(\omega-1)\pi}{4})\)；
将函数\(y=2sin(\omega x-\cfrac{\pi}{4})(\omega >0)\)的图象向右平移\(\cfrac{\pi}{4}\)个单位长度后，
得到\(y=2sin[\omega (x-\cfrac{\pi}{4})-\cfrac{\pi}{4}]=2sin(\omega x-\cfrac{(\omega+1)\pi}{4})\)；
由于平移后的对称轴重合，故自变量的整体差值为\(k\pi\)将两个自变量都视为整体，则其\(T=2\pi\)，半周期为\(\pi\)，故其差值为\(k\pi\)。\(\quad\)，
故\(\omega x+\cfrac{(\omega-1)\pi}{4}=\omega x-\cfrac{(\omega+1)\pi}{4}+k\pi(k\in \Z)\)；
化简得到\(\omega=2k(k\in \Z)\)，又\(\omega>0\)， 故\(\omega_{min}=2\)。
法2：将函数\(y=2sin(\omega x-\cfrac{\pi}{4})(\omega >0)\)的图象向左平移\(\cfrac{\pi}{4}\)个单位长度后，
由于周期的作用，其实平移的长度是\(\cfrac{\pi\omega}{4}\)；
将函数\(y=2sin(\omega x-\cfrac{\pi}{4})(\omega >0)\)的图象向右平移\(\cfrac{\pi}{4}\)个单位长度后，
由于周期的作用，其实平移的长度也是\(\cfrac{\pi\omega}{4}\)；
这样的平移效果，相当于视原图像不动，再将其图像一次平移距离为\(\cfrac{2\pi\omega}{4}\)；
由于平移后两个函数的对称轴重合，故平移距离应该是半周期的整数倍，即\(k\pi\)，即\(\cfrac{2\pi\omega}{4}=k\pi\)，
化简得到\(\omega=2k(k\in Z)\)，又\(\omega>0\)，故\(\omega_{min}=2\)。
法1：由题意得，\(f(x)=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x=2\sin(2x-\cfrac{\pi}{6})\)，
则 \(g(x)=2\sin[2(x+t)-\cfrac{\pi}{6}]=2\sin(2x+2t-\cfrac{\pi}{6})\)，
又由题意得， \(g(x)=g(\cfrac{\pi}{12}-x)\)， 则变换得到下式，
则 \(2\sin(2x+2t-\cfrac{\pi}{6})=2\sin[2(\cfrac{\pi}{12}-x)+2t-\cfrac{\pi}{6}]=-2\sin(2x-2t)\)
即\(\sin(2x+2t-\cfrac{\pi}{6})=-\sin(2x-2t)\)，
故有\(2x+2t-\cfrac{\pi}{6}=2x-2t+(2k+1)\pi\)，\(k\in \Z\)，
即\(4t=(2k+1)\pi+\cfrac{\pi}{6}\)，\(k\in \Z\)，
又由于\(t>0\)，故当\(k=0\)时，\(t_{\min}=\cfrac{7\pi}{24}\)，故选\(B\).
对以上的三角方程作以抽象，即可得到三角方程的最简模型：
由\(\sin(2x+\theta)\)\(=\)\(\sin(2x-2\theta+t)\)从数的角度刻画为\(\sin\)\((2x\)\(+\)\(\theta\)\()\)\(=\)\(\sin\)\((2x\)\(-\)\(2\theta\)\(+\)\(t)\)，而从形的角度可以刻画为两个函数的图像完全重合；\(\quad\)，可以得到\(2x\)\(+\)\(\theta\)\(=\)\(2x\)\(-\)\(2\theta\)\(+\)\(t\)\(+2k\pi\)，\(k\in \Z\)；
由\(\sin(2x+\theta)\)\(=\)\(-\sin(2x-2\theta+t)\)从数的角度刻画为\(\sin(2x\)\(+\)\(\theta)\)\(=\)\(-\sin\)\((2x\)\(-\)\(2\theta\)\(+\)\(t)\)，而从形的角度可以刻画为两个函数的图像关于\(x\)轴对称；或者两个函数图像的对称轴重合；\(\quad\)，可以得到\(2x\)\(+\)\(\theta\)\(=\)\(2x\)\(-\)\(2\theta\)\(+\)\(t\)\(+\)\((2k+1)\pi\)，\(k\in \Z\)；
法2：由题意得，\(f(x)=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x=2\sin(2x-\cfrac{\pi}{6})\)，
则 \(g(x)=2\sin[2(x+t)-\cfrac{\pi}{6}]=2\sin(2x+2t-\cfrac{\pi}{6})\)，
又由题意得， \(g(x)=g(\cfrac{\pi}{12}-x)\)， 即\(x=\cfrac{\pi}{24}\)为函数\(g(x)\)的对称轴，
即\(x=\cfrac{\pi}{24}\)能使得函数\(g(x)\)的值取到最值；
故\(2\times\cfrac{\pi}{24}+2t-\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in \Z\)；
整理为\(t=\cfrac{kt}{2}+\cfrac{7\pi}{24}\)，\(k\in \Z\)；
又由于\(t>0\)，故当\(k=0\)时，\(t_{\min}=\cfrac{7\pi}{24}\)，故选\(B\).
等价刻画
- 为控制难度，便于理解，暂时只涉及正(余)弦型，正切型可以类比分析；
①当平移前和平移后，图像完全重合，则平移的距离一定是周期 \(T\) 的整数倍 \(k(k\in \Z)\)；
②当平移的距离是周期 \(T\) 的整数倍 \(k(k\in \Z)\) 时，则其图像必然完全重合，或者所有性质都相同；
③当平移前和平移后，函数的单调性完全相同，则平移的距离一定是周期 \(T\) 的整数倍 \(k(k\in \Z)\)；
④当平移前和平移后，图像的对称轴完全重合，则平移的距离一定是半周期 \(\cfrac{T}{2}\) 的偶数倍 \(2k(k\in \Z)\)；
⑤当平移前和平移后，两个图像关于\(x\)轴对称，则平移的距离一定是半周期 \(\cfrac{T}{2}\) 的奇数倍 \(2k+1(k\in \Z)\)；
⑥当平移前和平移后，函数的单调性完全相反，则平移的距离一定是半周期 \(\cfrac{T}{2}\) 的奇数倍 \(2k+1(k\in \Z)\)；