例说三角函数图像变换

前言

三角函数的图像变换，其操作实质是对横坐标和纵坐标的替换。可以利用相关点法来说明；

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相关点法，可以这样理解，相关点法是所有函数图像变换的依托和基础，不仅仅局限于三角函数的图像变换；

典例剖析

• 相位变换

例1 由\(y=\sin(2x-\cfrac{\pi}{3})\)如何变形得到\(y=\sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)；

从形上刻画：向左平移\(\cfrac{\pi}{4}\)个单位得到；

从数上刻画：用\(x+\cfrac{\pi}{4}\Rightarrow x\)，

原因分析：相位变换即左右平移的本质是用\(x+\phi\)替换\(x\)后整理得到的；

故由\(2(x+\phi)-\cfrac{\pi}{3}=2x+2\phi-\cfrac{\pi}{3}=2x+\cfrac{\pi}{6}\)，

解得\(\phi=\cfrac{\pi}{4}\)，[左加右减的口诀是用在\(x+\phi=x+\cfrac{\pi}{4}\)上]

即用\(x+\cfrac{\pi}{4}\)替换\(x\)，故向左平移\(\cfrac{\pi}{4}\)个单位得到；^[1]

例2 由\(y=sin(2x-\cfrac{\pi}{3})\)如何变形得到\(y=sin(6x-\cfrac{\pi}{3})\)；

从形上刻画：横坐标缩短为原来的\(\cfrac{1}{3}\)倍得到；

从数上刻画：用\(3x\Rightarrow x\)，

原因分析：周期变换即横向伸缩的本质是用\(\omega x\)替换\(x\)后整理得到的；
\(y=sin(2x-\cfrac{\pi}{3})\)的原有横坐标系数\(\omega_0=2\)，
显然\(y=sin(6x-\cfrac{\pi}{3})\)是表达式\(y=sin(2x-\cfrac{\pi}{3})\)中的\(x\)被\(3x\)替换后得到的，^[2]

\(y=sin[2\times (3x)-\cfrac{\pi}{3}]=sin(6x-\cfrac{\pi}{3})\)，

例3 【例说有关变换次序的问题】

次序1：先相位变换，后周期变换；初始源函数\(f(x)=3\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{3})\)；

①首先，图像向右平移\(\cfrac{\pi}{3}\)个单位，即用\(x-\cfrac{\pi}{3}\)替换上述解析式中的\(x\)，

整理得到\(y=3\sin[\cfrac{1}{2}(x-\cfrac{\pi}{3})-\cfrac{\pi}{3}]=3\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{2})=-3\cos\cfrac{x}{2}\)

②然后，将得到的函数图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的\(3\)倍，

即用\(\cfrac{1}{3}x\)替换\(y=-3\cos\cfrac{x}{2}\)中的单独的自变量\(x\)，得到\(y=-3\cos\cfrac{x}{6}\)；

次序2：先周期变换，后相位变换；初始源函数\(f(x)=3\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{3})\)；

①首先，将源函数图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的\(3\)倍，

即用\(\cfrac{1}{3}x\)替换\(f(x)=3\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{3})\)中的单独的自变量\(x\)，得到\(y=3\sin(\cfrac{1}{6}x-\cfrac{\pi}{3})\)；

②然后，将得到的图像图像，向右平移\(\cfrac{\pi}{3}\)个单位，即用\(x-\cfrac{\pi}{3}\)替换上述解析式\(y=3\sin(\cfrac{1}{6}x-\cfrac{\pi}{3})\)中的\(x\)，

整理得到\(y=3\sin[\cfrac{1}{6}(x-\cfrac{\pi}{3})-\cfrac{\pi}{3}]=3\sin(\cfrac{1}{6}x-\cfrac{7\pi}{18})\)；

引申拓展

由于上述的解题经验其实是用相关点法做基础得出的，即三角函数图像的变换本质是坐标的替换，所以完全可以引申到所有函数的图像变换；

例4 【2020届高三模拟训练】把函数\(y=3^x\)的图像沿\(x\)轴向左平移\(m(m>0)\)个单位长度，得到函数\(f(x)=10\)\(\times\)\(3^x\)的图像，则\(f(m)\)=【】

$A.10$ $B.20$ $C.30$ $D.100$

分析：把函数\(y=3^x\)的图像沿\(x\)轴向左平移\(m(m>0)\)个单位长度，

得到\(y=3^{x+m}=3^x\times 3^m=f(x)\)，又题目已知\(f(x)=10\times 3^x\)

故\(3^m=10\)，则\(f(m)=10\times 3^m=10\times 10=100\)，故选\(D\)。

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1. 用相关点法作深度分析，设变换前函数图像上的任一点坐标为\(P(x,y)\)，
   变换后函数图像上对应的点的坐标为\(P'(x_1,y_1)\)；
   则其施行的变换公式为\(\left\{\begin{array}{l}{x_1=x+\phi}\\{y_1=y}\end{array}\right.\)，即其逆变换公式为\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_1-\phi}\\{y=y_1}\end{array}\right.\)，
   将其代入已知的函数解析式，得到\(y_1=\sin[2(x_1-\phi)-\cfrac{\pi}{3}]\)，整理为\(y_1=\sin(2x_1-2\phi-\cfrac{\pi}{3})\)，
   变换结束后我们往往就会将下标去掉，得到\(y=\sin(2x-2\phi-\cfrac{\pi}{3})\)，其应该等价于\(y=\sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，
   于是解得\(\phi=-\cfrac{\pi}{4}\)，故我们是用\(x_1-(-\cfrac{\pi}{4})=x_1+\cfrac{\pi}{4}\)替换的原解析式中的\(x\)，
   由于是\(+\)，故应该向左平移\(\cfrac{\pi}{4}\)个单位； ↩︎

2. 用相关点法作深度分析，设变换前函数图像上的任一点坐标为\(P(x,y)\)，
   变换后函数图像上对应的点的坐标为\(P'(x_1,y_1)\)；
   则其施行的变换公式为\(\left\{\begin{array}{l}{x_1=\cfrac{1}{3}x}\\{y_1=y}\end{array}\right.\)，即其逆变换公式为\(\left\{\begin{array}{l}{x=3x_1}\\{y=y_1}\end{array}\right.\)，
   将其代入已知的函数解析式，得到\(y_1=\sin[2(3x_1)-\cfrac{\pi}{3}]\)，整理为\(y_1=\sin(6x_1-\cfrac{\pi}{3})\)，
   变换结束后我们往往就会将下标去掉，得到\(y=\sin(6x-\cfrac{\pi}{3})\)；
   故我们是用\(3x_1\)替换的原解析式中的单独的\(x\)，注意不是替换\(2x\)这个整体， ↩︎