例說三角函數圖像變換

前言

三角函數的圖像變換，其操作實質是對橫坐標和縱坐標的替換。可以利用相關點法來說明；

相關鏈接

相關點法，可以這樣理解，相關點法是所有函數圖像變換的依托和基礎，不僅僅局限於三角函數的圖像變換；

典例剖析

• 相位變換

例1 由\(y=\sin(2x-\cfrac{\pi}{3})\)如何變形得到\(y=\sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)；

從形上刻畫：向左平移\(\cfrac{\pi}{4}\)個單位得到；

從數上刻畫：用\(x+\cfrac{\pi}{4}\Rightarrow x\)，

原因分析：相位變換即左右平移的本質是用\(x+\phi\)替換\(x\)后整理得到的；

故由\(2(x+\phi)-\cfrac{\pi}{3}=2x+2\phi-\cfrac{\pi}{3}=2x+\cfrac{\pi}{6}\)，

解得\(\phi=\cfrac{\pi}{4}\)，[左加右減的口訣是用在\(x+\phi=x+\cfrac{\pi}{4}\)上]

即用\(x+\cfrac{\pi}{4}\)替換\(x\)，故向左平移\(\cfrac{\pi}{4}\)個單位得到；^[1]

例2 由\(y=sin(2x-\cfrac{\pi}{3})\)如何變形得到\(y=sin(6x-\cfrac{\pi}{3})\)；

從形上刻畫：橫坐標縮短為原來的\(\cfrac{1}{3}\)倍得到；

從數上刻畫：用\(3x\Rightarrow x\)，

原因分析：周期變換即橫向伸縮的本質是用\(\omega x\)替換\(x\)后整理得到的；
\(y=sin(2x-\cfrac{\pi}{3})\)的原有橫坐標系數\(\omega_0=2\)，
顯然\(y=sin(6x-\cfrac{\pi}{3})\)是表達式\(y=sin(2x-\cfrac{\pi}{3})\)中的\(x\)被\(3x\)替換后得到的，^[2]

\(y=sin[2\times (3x)-\cfrac{\pi}{3}]=sin(6x-\cfrac{\pi}{3})\)，

例3 【例說有關變換次序的問題】

次序1：先相位變換，后周期變換；初始源函數\(f(x)=3\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{3})\)；

①首先，圖像向右平移\(\cfrac{\pi}{3}\)個單位，即用\(x-\cfrac{\pi}{3}\)替換上述解析式中的\(x\)，

整理得到\(y=3\sin[\cfrac{1}{2}(x-\cfrac{\pi}{3})-\cfrac{\pi}{3}]=3\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{2})=-3\cos\cfrac{x}{2}\)

②然后，將得到的函數圖像的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的\(3\)倍，

即用\(\cfrac{1}{3}x\)替換\(y=-3\cos\cfrac{x}{2}\)中的單獨的自變量\(x\)，得到\(y=-3\cos\cfrac{x}{6}\)；

次序2：先周期變換，后相位變換；初始源函數\(f(x)=3\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{3})\)；

①首先，將源函數圖像的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的\(3\)倍，

即用\(\cfrac{1}{3}x\)替換\(f(x)=3\sin(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{\pi}{3})\)中的單獨的自變量\(x\)，得到\(y=3\sin(\cfrac{1}{6}x-\cfrac{\pi}{3})\)；

②然后，將得到的圖像圖像，向右平移\(\cfrac{\pi}{3}\)個單位，即用\(x-\cfrac{\pi}{3}\)替換上述解析式\(y=3\sin(\cfrac{1}{6}x-\cfrac{\pi}{3})\)中的\(x\)，

整理得到\(y=3\sin[\cfrac{1}{6}(x-\cfrac{\pi}{3})-\cfrac{\pi}{3}]=3\sin(\cfrac{1}{6}x-\cfrac{7\pi}{18})\)；

引申拓展

由於上述的解題經驗其實是用相關點法做基礎得出的，即三角函數圖像的變換本質是坐標的替換，所以完全可以引申到所有函數的圖像變換；

例4 【2020屆高三模擬訓練】把函數\(y=3^x\)的圖像沿\(x\)軸向左平移\(m(m>0)\)個單位長度，得到函數\(f(x)=10\)\(\times\)\(3^x\)的圖像，則\(f(m)\)=【】

$A.10$ $B.20$ $C.30$ $D.100$

分析：把函數\(y=3^x\)的圖像沿\(x\)軸向左平移\(m(m>0)\)個單位長度，

得到\(y=3^{x+m}=3^x\times 3^m=f(x)\)，又題目已知\(f(x)=10\times 3^x\)

故\(3^m=10\)，則\(f(m)=10\times 3^m=10\times 10=100\)，故選\(D\)。

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1. 用相關點法作深度分析，設變換前函數圖像上的任一點坐標為\(P(x,y)\)，
   變換后函數圖像上對應的點的坐標為\(P'(x_1,y_1)\)；
   則其施行的變換公式為\(\left\{\begin{array}{l}{x_1=x+\phi}\\{y_1=y}\end{array}\right.\)，即其逆變換公式為\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_1-\phi}\\{y=y_1}\end{array}\right.\)，
   將其代入已知的函數解析式，得到\(y_1=\sin[2(x_1-\phi)-\cfrac{\pi}{3}]\)，整理為\(y_1=\sin(2x_1-2\phi-\cfrac{\pi}{3})\)，
   變換結束后我們往往就會將下標去掉，得到\(y=\sin(2x-2\phi-\cfrac{\pi}{3})\)，其應該等價於\(y=\sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，
   於是解得\(\phi=-\cfrac{\pi}{4}\)，故我們是用\(x_1-(-\cfrac{\pi}{4})=x_1+\cfrac{\pi}{4}\)替換的原解析式中的\(x\)，
   由於是\(+\)，故應該向左平移\(\cfrac{\pi}{4}\)個單位； ↩︎

2. 用相關點法作深度分析，設變換前函數圖像上的任一點坐標為\(P(x,y)\)，
   變換后函數圖像上對應的點的坐標為\(P'(x_1,y_1)\)；
   則其施行的變換公式為\(\left\{\begin{array}{l}{x_1=\cfrac{1}{3}x}\\{y_1=y}\end{array}\right.\)，即其逆變換公式為\(\left\{\begin{array}{l}{x=3x_1}\\{y=y_1}\end{array}\right.\)，
   將其代入已知的函數解析式，得到\(y_1=\sin[2(3x_1)-\cfrac{\pi}{3}]\)，整理為\(y_1=\sin(6x_1-\cfrac{\pi}{3})\)，
   變換結束后我們往往就會將下標去掉，得到\(y=\sin(6x-\cfrac{\pi}{3})\)；
   故我們是用\(3x_1\)替換的原解析式中的單獨的\(x\)，注意不是替換\(2x\)這個整體， ↩︎