前言
常用结论
-
函数\(f(x)=sinx\)，\(g(x)=Asinx\)，\(h(x)=sin\omega x\)，\(f(x)=Asin\omega x\)都是奇函数；
-
函数\(f(x)=cosx\)，\(g(x)=Acosx\)，\(h(x)=cos\omega x\)，\(f(x)=Acos\omega x\)都是偶函数；
-
函数\(f(x)=Asin(\omega x+\phi)\)为奇函数，则需要\(sin\phi=0\)，或者\(\phi=k\pi，k\in Z\)；
-
函数\(f(x)=Asin(\omega x+\phi)\)为偶函数，则需要\(sin\phi=\pm 1\)，或者\(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}，k\in Z\)；
高阶链接
对称性
分析：这种方法可以求得函数的一族对称轴方程和一族对称中心坐标；
令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，
解得对称轴方程为：\(x=\cfrac{k\pi}{2}+\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\)，
求对称中心，先利用\(y=sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)求对称中心，最后补充\(+1\)；
令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi(k\in Z)\)，解得\(x=\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{12}(k\in Z)\)，
故对称中心坐标为\((\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{12}，1)(k\in Z)\)
分析：验证法，先变形得到\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\)，利用函数在对称轴处的函数值能取到最值，故只需验证即可，
比如，将\(x=\cfrac{\pi}{12}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{3}\)，并不能使得其取到最值\(\pm 1\)，故舍去\(A\)；
将\(x=\cfrac{\pi}{6}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{2}\)，能使得其取到最值\(+1\)，故\(B\)必然满足；用同样的方法可以验证其余的选项错误；
分析：\(f(x)=sinx+acosx=\sqrt{a^2+1}sin(x+\phi)，tan\phi =a\)，
由题目可知，\(\cfrac{5\pi}{3}+\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，
故\(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{5\pi}{3}=k\pi-\cfrac{7\pi}{6}\)，
由于\(\phi\)的值只需要考虑其存在性，故从简原则，
令\(k=1\)，\(\phi=-\cfrac{\pi}{6}\)，从而\(a=tan\phi=tan(-\cfrac{\pi}{6})=-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，
所以\(g(x)=-\cfrac{\sqrt{3}}{3}sinx+cosx=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}sin(x+\theta)，tan\theta=-\sqrt{3}\)，
故\(g(x)_{max}=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\).
典型例题
分析：由任意\(x\)都有\(f(\cfrac{\pi}{4}+x)=f(\cfrac{\pi}{4}-x)\)成立，可知\(x=\cfrac{\pi}{4}\)为函数的一条对称轴，
而正弦型或余弦型函数在对称轴处必然会取到最值，故\(f(\cfrac{\pi}{4})=\pm 2\)，选B。
解后反思：此题目如果不注意函数的性质，往往会想到求\(\omega\)和\(\phi\)，这样思路就跑偏了。
分析：\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\)，
法1：比较繁琐，令\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}\)，\(k\in Z\)，则\(x=\cfrac{k\pi}{2}+\cfrac{\pi}{6}\)，\(k\in Z\)，即对称轴有无数条，
令\(k=0\)，得到其中的一条对称轴为\(x=\cfrac{\pi}{6}\)，当\(k\)取其他的值时，都不能得到其他的选项，故选\(B\)。
法2：比较简单，利用函数在对称轴处的函数值能取到最值，故只需验证即可，
比如，将\(x=\cfrac{\pi}{12}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{3}\)，并不能使得其取到最值\(\pm 1\)，故舍去\(A\)；
将\(x=\cfrac{\pi}{6}\)代入\(sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，即\(sin\cfrac{\pi}{2}\)，能使得其取到最值\(+1\)，故\(B\)必然满足；用同样的方法可以验证其余的选项错误；
分析：只需要考虑函数\(y=cos(2x+\cfrac{\pi}{6})\)的对称性即可，由\(2x+\cfrac{\pi}{6}=k\pi\)，\(k\in Z\)，
得到对称轴\(x=\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{12}\)，由题可知，对称轴必须在\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)内，令\(k=1\)，得到对称轴为\(x=\cfrac{5\pi}{12}\)，
又两个零点\(x_1\)和\(x_2\)关于对称轴\(x=\cfrac{5\pi}{12}\)对称，故\(x_1+x_2=\cfrac{5\pi}{6}\)，故选\(C\)。
分析：\(y=f(x)=\sqrt{a^2+1}sin(x+\phi)\)，其中\(tan\phi=\cfrac{1}{a}\)，
由函数\(f(x)=asinx+cosx\)的图像关于直线\(x=\cfrac{\pi}{6}\)对称，可知\(\phi=\cfrac{\pi}{3}\)，
则\(a=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，又\(g(x)=sinx+\cfrac{\sqrt{3}}{3}cosx=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}sin(x+\cfrac{\pi}{6})\)，
逐项验证，可知选\(D\)。
分析：正切函数的对称中心不一定能用验证法，有时候对称中心不在函数图像上。
由\(x+\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{k\pi}{2}(k\in Z)\)，解得\(x=\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{3}(k\in Z)\)
令\(k=1\)，则\(x=\cfrac{\pi}{6}\)，故函数\(y=\tan(x+\cfrac{\pi}{3})\)的图像关于点\((\cfrac{\pi}{6},0)\)成中心对称，正确；