函数的对称性习题

前言

主动研究函数的对称性，利用函数的对称性求值会变得很简单。

• 相关阅读：

1、函数的对称性；

2、函数的对称性常用结论；

3、抽象函数的对称性验证；

4、三角函数的对称性；

典例剖析

利用对称性求值；

例1 【2017•合肥模拟】【共用对称中心】已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足：\(f(x+2)=f(x)\)，同时满足\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^2+2，x\in[0，1)}\\{2-x^2，x\in [-1，0)，}\end{array}\right.\) 且\(g(x)=\cfrac{2x+5}{x+2}\)，则方程\(f(x)=g(x)\)在区间\([-5，1]\)上的所有实根之和为___________.

解析：\(g(x)=\cfrac{2x+5}{x+2}=2+\cfrac{1}{x+2}\)，其对称中心是\((-2，2)\)，由题意知函数\(f(x)\)的周期为\(2\)，

则函数\(f(x)\)，\(g(x)\)在区间\([-5,1]\)上的图像如图所示，由图可知函数\(f(x)\)，

\(g(x)\)的图像在区间\([-5,1]\)上的交点为\(A、B、C\)，易知点\(B\)的横坐标为\(-3\)，

设\(C\)的横坐标为\(t(0<t<1)\)，则由对称性知点\(A\)的横坐标为\(-4-t\)，

所以方程\(f(x)=g(x)\)在区间\([-5,1]\)上的所有实数根之和为\(-3+t+(-4-t)=-7\)。

例2 【2016高考理科数学全国卷2第12题】【共用对称中心】已知函数\(f(x)(x\in R)\)满足\(f(-x)=2\) \(-f(x)\)，若函数\(y=\cfrac{x+1}{x}\)与函数\(y=f(x)\)图像的交点为\((x_1，y_1)\)，\((x_2，y_2)\)，\(\cdots\)，\((x_m，y_m)\)，则\(\sum\limits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}\)的值为【】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：由题目可知\(f(x)+f(-x)=2\)，即函数\(f(x)\)图像关于点\((0，1)\)对称，

而函数\(y=\cfrac{x+1}{x}=1+\cfrac{1}{x}\)图像也关于点\((0，1)\)对称，即两个函数图像有相同的对称中心，

那么二者的交点个数一定有偶数个，如图所示， 可知对横坐标而言有\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=0\)，

而对纵坐标而言，成对的点的个数是\(\cfrac{m}{2}\)个，他们中的每一对满足\(\cfrac{y_1+y_m}{2}=1\)，

即\(y_1+y_m=2\)，故\(\sum\limits_{i=1}^m{y_i}=2\cdot \cfrac{m}{2}=m\)，

故\(\sum\limits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}=\sum\limits_{i=1}^m{x_i}+\sum\limits_{i=1}^m{y_i}=m\)，故选\(B\)。

例3 【2016高考文科数学全国卷2第12题】【共用对称轴】已知函数\(f(x)(x\in R)\)满足\(f(x)=f(2-x)\)，若函数\(y=|x^2-2x-3|\)与函数\(y=f(x)\)图像的交点为\((x_1，y_1)，(x_2，y_2)，\cdots，(x_m，y_m)\)，则\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}\)的值为【】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：函数\(f(x)(x\in R)\)满足\(f(x)=f(2-x)\)，则函数的对称轴是直线\(x=1\)，

而函数\(y=|x^2-2x-3|=|(x-1)^2-4|\)的对称轴也是直线\(x=1\)，作出函数的图像如右图所示，

则二者的交点个数\(m\)一定是偶数个，两两配对的个数为\(\cfrac{m}{2}\)，比如\(A\)和\(B\)配对，

则有\(\cfrac{x_1+x_m}{2}=1\)，\(x_1+x_m=2\)，故\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=\cfrac{m}{2}\cdot 2=m\)，故选\(B\)。

例4 【2015 秋•宁德期末】【共用对称轴】已知函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f(2-x)\)，且\(x\in[-1，1]\)时，\(f(x)=1-x^2\)，函数\(g(x)\)为偶函数，当\(x>0\)时，\(g(x)=\cfrac{1}{x}\)，则函数\(f(x)(x\in[-1，3])\)的图像与函数\(g(x-1)\)的图像的所有交点的横坐标之和等于【 】

$A.0$ $B.2$ $C.4$ $D.6$

分析：由\(f(x)=f(2-x)\)，可知函数\(f(x)\)关于直线\(x=1\)对称，函数\(g(x)\)为偶函数，则函数\(g(x-1)\)的图像关于直线\(x=1\)对称，

做出函数的简图如右所示，由图可知，\(x_1+x_2=2\)，\(x_3+x_4=2\)，

所有交点的横坐标之和等于\(2\times2=4\)。选\(C\)。

例5 已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{ln(-x)，x<0}\\{e^x+e^{2-x}-a，x\ge 0}\end{array}\right.\)，若\(f(x)\)的所有零点之和为\(1\)，则实数\(a\)的取值范围是\((2e，e^2+1)\)；

【分析】容易求出其中一个零点\(x=-1\)，然后研究\(x\ge 0\)时的函数\(f(x)\)的对称性，由图像的对称性和单调性得出函数在\(x\ge 0\)上的两个对称的零点的条件，从而得到\(a\)的取值范围。

【解答】当\(x<0\)时，由\(ln(-x)=0\)，得到函数的一个零点是\(x=-1\)，

当\(x\ge 0\)时，\(f(x)=e^x+e^{2-x}-a\)，\(f(2-x)=e^{2-x}+e^x-a\)，故\(f(x)=f(2-x)\)，

即此时函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称(此时函数图像部分对称，若去掉\(x\ge 0\)的限制，函数图像完全对称)，

此时函数若有零点，则必然满足\(x_1+x_2=2\)，故所有零点之和为1，满足题意；

又\(f'(x)=e^x-e^{2-x}\)，当\(x\in (0，1)\)时，\(f'(x)<0\)，即\(f(x)\)单调递减，当\(x\in (1，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，即\(f(x)\)单调递增，

故函数\(f(x)_{min}=f(1)=e^1+e^{2-1}-a=2e-a\)；

但要使得函数\(f(x)\)有零点必须满足条件\(f(x)_{min}<0\)且\(f(0)>0\)，（这是为了保证函数有两个零点，且在\((0，1)\)段上的零点必须存在）

即\(2e-a<0\)且\(e^0+e^2-a>0\)，解得\(2e<a<e^2+1\)，

【点评】①本题目考查函数的零点，考查的很灵活，借助图像类似开口向上的抛物线的函数的对称性考查零点的存在性，很有创意，

而且我们一般很难想到研究函数的对称性。大多可能会朝对勾形函数做转化，结果思路变得模糊而不可解。

②对抽象函数而言，当我们看到条件\(f(x)=f(2-x)\)，肯定能想到函数有对称轴\(x=1\)，但碰到具体的函数我们取往往想不到用\(f(x)=f(2-x)\)来判断函数的对称性。

例6 【利用对称性求值】若\(f(x)=\cfrac{3x-2}{2x-1}\)，则\(f(\cfrac{1}{11})+f(\cfrac{2}{11})+f(\cfrac{3}{11})+\cdots+f(\cfrac{10}{11})\)的值是多少？

法1：结合要求解的条件，我们尝试求解\(f(x)+f(1-x)\)的值，结果会发现：\(f(x)+f(1-x)=3\)，

故有\(f(\cfrac{1}{11})+f(\cfrac{10}{11})=3\);\(f(\cfrac{2}{11})+f(\cfrac{9}{11})=3\)；等等，

所以\(f(\cfrac{1}{11})+f(\cfrac{2}{11})+f(\cfrac{3}{11})+\cdots+f(\cfrac{10}{11})\)

\(=5[f(\cfrac{1}{11})+f(\cfrac{10}{11})]=5\times 3=15\).

法2：将函数\(f(x)\)化为部分分式为\(f(x)=\cfrac{3}{2}-\cfrac{1}{2(2x-1)}\)，

故函数\(f(x)\)的对称中心是\((\cfrac{1}{2}，\cfrac{3}{2})\)，

故根据函数的对称性的数学表达可以写出\(f(x)+f(1-x)=3\)；

故所求式等于\(5\times 3=15\).

法3：本题目也可以说明倒序相加求和法。

例7 已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c(a>0)\)，若\(m\)满足关于\(x\)的方程\(2ax+b=0\)，则下列选项中的命题为真命题的是【】

$A.$存在$x\in R，f(x) < f(m)$

$B.$存在$x\in R，f(x) > f(m)$

$C.$任意$x\in R，f(x)\leq f(m)$

$D.$任意$x\in R，f(x)\ge f(m)$

分析：由题目\(m\)满足关于\(x\)的方程\(2ax+b=0\)，即\(m=-\cfrac{b}{2a}\)，

又二次函数\(f(x)\)开口向上，\(x=-\cfrac{b}{2a}\)为其对称轴，故其有最小值\(f(-\cfrac{b}{2a})\)，

即\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{b}{2a})=f(m)\)，故对任意\(x\in R\)，\(f(x)\ge f(m)\) ，故选\(D\)。

例7-1 函数\(f(x)=2cos(\omega x+\phi)(\omega\neq 0)\)对任意\(x\)都有\(f(\cfrac{\pi}{4}+x)=f(\cfrac{\pi}{4}-x)\)成立，则\(f(\cfrac{\pi}{4})\)的值为【】

$A、2或0$ $B、-2或2$ $C、0$ $D、-2或0$

分析：由任意\(x\)都有\(f(\cfrac{\pi}{4}+x)=f(\cfrac{\pi}{4}-x)\)成立，可知\(x=\cfrac{\pi}{4}\)为函数的一条对称轴，

而正弦型或余弦型函数在对称轴处必然会取到最值，故\(f(\cfrac{\pi}{4})=\pm 2\)，选B。

解后反思：此题目如果不注意函数的性质，往往会想到求\(\omega\)和\(\phi\)，这样思路就跑偏了。

例8 【利用类对称性求值】【2017宝鸡中学第一次月考第15题】已知函数\(f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\)，则\(2f(2)+\)\(2f(3)+\)\(\cdots+2f(2017)\)\(+f(\frac{1}{2})+\)\(f(\frac{1}{3})\)\(+\cdots+f(\frac{1}{2017})\)\(+\frac{1}{2^2}f(2)+\)\(\frac{1}{3^2}f(3)+\cdots+\)\(\frac{1}{2017^2}f(2017)\)的值为多少？

分析：从研究函数的特殊性质入手，切入点是给定式子的结构；注意到自变量有\(2\)和\(\cfrac{1}{2}\)，

所以先尝试探究\(f(x)+f(\frac{1}{x})\)，结果，\(f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x^2}{1+x^2}+\cfrac{(\frac{1}{x})^2}{1+(\frac{1}{x})^2}=1\)，

这样就可以将中的一部分求值，剩余其他部分里面的代表为\(f(2)+\cfrac{1}{2^2}f(2)\)，

故接下来探究\(f(x)+\cfrac{1}{x^2}f(x)=？\)，结果发现\(f(x)+\cfrac{1}{x^2}f(x)=\cfrac{x^2}{1+x^2}+\cfrac{1}{x^2}\cdot\cfrac{x^2}{1+x^2}=1\)，

到此我们以及对整个题目的求解心中有数了，则整个题目的求解思路基本清晰了。

解析：由\(f(x)+f(\cfrac{1}{x})=1\)和\(f(x)+\cfrac{1}{x^2}f(x)=1\)，可将所求式子变形得到：

\(2f(2)+2f(3)+\cdots+2f(2017)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+\cdots+f(\frac{1}{2017})+\frac{1}{2^2}f(2)\) \(+\frac{1}{3^2}f(3)+\cdots+\)\(\frac{1}{2017^2}f(2017)\)

\(=\{[f(2)+f(\frac{1}{2})]+[f(3)+f(\frac{1}{3})]+\cdots+[f(2017)+f(\frac{1}{2017})]\}\) \(+\{[f(2)+\frac{1}{2^2}f(2)]+[f(3)+\frac{1}{3^2}f(3)]+\cdots++[f(2017)+\frac{1}{2017^2}f(2017)]\}\)

\(=2016+2016=4032\).

例9 【2019凤翔中学高一数学期末考试第12题】已知函数\(f(x)=x+sin\pi x-3\)，则\(f(\cfrac{1}{2017})\)\(+f(\cfrac{2}{2017})\)\(+\cdots\) \(+f(\cfrac{4032}{2017})\)\(+f(\cfrac{4033}{2017})\)的值为【】

$A.4033$ $B.-4033$ $C.8066$ $D.-8066$

分析：注意到需要求值的到两端等距离的自变量的和为\(x_1+x_2=2\)，故我们想到验证\(f(x)+f(2-x)=?\)

\(f(x)+f(2-x)=x+sin\pi x-3+(2-x)+sin\pi(2-x)-3\)

\(=sin\pi x+sin(2\pi-\pi x)-4=sin\pi x-sin\pi x-4=-4\)，

故\(f(\cfrac{1}{2017})+f(\cfrac{2}{2017})+\cdots\) \(+f(\cfrac{4032}{2017})+f(\cfrac{4033}{2017})\)

\(=[f(\cfrac{1}{2017})+f(\cfrac{4033}{2017})]+[f(\cfrac{2}{2017})+f(\cfrac{4032}{2017})]+\cdots+\)\([f(\cfrac{2016}{2017})+\)\(f(\cfrac{2018}{2017})]+\)\(f(\cfrac{2017}{2017})\)

\(=2016\times(-4)+f(1)=-8064+1+0-3=-8066\)，故选\(D\)。

解后反思：①由\(f(x)+f(2-x)=-4\)可知，函数\(f(x)\)的图像必然会关于点\((1，-2)\)成中心对称图形；

②其实这个函数的对称中心有无穷多个，比如函数还满足\(f(x)+f(4-x)=-2\)，这一点我们可以自行验证，即期对称中心还有\((2，-1)\)；

③其实给定的函数中还有一个性质可以挖掘，令\(g(x)=x+sin\pi x\)，则原函数\(f(x)\)中的部分所构成的函数\(g(x)\)是个奇函数，故满足\(g(x)+g(-x)=0\)，

则\(f(x)=g(x)-3\)，那么\(f(x)+f(-x)=g(x)-3+g(-x)-3=-6\)，即函数还有个对称中心为\((0，-3)\)；

④那么我们为什么会想到用\(f(x)+f(2-x)=-4\)而不用\(f(x)+f(4-x)=-2\)呢？主要是基于我们观察得到的到两端等距离的两项的自变量之和为定值\(x_1+x_2=2\)。

利用对称性证明；

例10 【对称性证明】已知函数\(f(x)=x^3-x^2-x+\cfrac{11}{27}\)，求证：函数\(f(x)\)的图像关于点\((\cfrac{1}{3}，0)\)对称。

法1：利用思路\(f(\cfrac{2}{3}-x)+f(x)=0\)证明；

\(f(\cfrac{2}{3}-x)=(\cfrac{2}{3}-x)^3-(\cfrac{2}{3}-x)^2-(\cfrac{2}{3}-x)+\cfrac{11}{27}=\cdots\)，

故有\(f(\cfrac{2}{3}-x)+f(x)=0\)，

即函数\(f(x)\)的图像关于点\((\cfrac{1}{3}，0)\)对称。

法2：将函数\(f(x)\)向左平移\(\cfrac{1}{3}\)个单位，得到\(f(x+\cfrac{1}{3})=x^3-\cfrac{4}{3}x=g(x)\)，

由于\(g(-x)=-x^3+\cfrac{4}{3}x=-g(x)\)，故证明了\(g(x)\)为奇函数，

从而将函数\(g(x)\)向右平移\(\cfrac{1}{3}\)个单位，对称中心变为点\((\cfrac{1}{3}，0)\)，

故证明函数\(f(x)\)的图像关于点\((\cfrac{1}{3}，0)\)对称。

例11 【两个函数关于某一点对称】给定命题，函数\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)和函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)的图像关于原点对称，试判断命题的真假。

【分析】：如果函数\(f(x)\)的图像和函数\(g(x)\)的图像关于原点对称，

则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0，-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上。

解答：先化简函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})=cos(2x-\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\pi}{2})\)，

\(g(x)=cos[\cfrac{\pi}{2}-(2x-\cfrac{\pi}{4})]=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)，

\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)

在函数\(f(x)\)图像上任意取一点\(P(x_0，y_0)\)，

则其关于原点的对称点为\(P'(-x_0，-y_0)\)，

将点\(P(x_0，y_0)\)代入函数\(f(x)\)，得到\(y_0=sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)

则\(-y_0=-sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)，即\(-y_0=sin(2\cdot(-x_0)-\cfrac{\pi}{4})\)，

即点\(P'(-x_0，-y_0)\)在函数\(g(x)=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)上，

也即点\(P'(-x_0，-y_0)\)在函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)上，

又由点\(P(x_0，y_0)\)的任意性可知，

函数\(f(x)\)和函数\(g(x)\)的图像必然关于原点对称，

故为真命题。

综合应用

例12 【2019届高三理科数学函数的图像课时作业第17题】已知函数\(f(x)\)的图像与函数\(h(x)=x+\cfrac{1}{x}+2\)的图像关于点\(A(1，0)\)对称，

（1）求\(f(x)\)的解析式；

分析：设\(f(x)\)图像上任一点\(P(x，y)\)，则点\(P\)关于\((0，1)\)点的对称点\(P'(-x，2-y)\)必在\(h(x)\)的图像上，

即\(2-y=-x-\cfrac{1}{x}+2\)，即\(y=f(x)=x+\cfrac{1}{x}(x\neq 0)\)。

（2）若\(g(x)=f(x)+\cfrac{a}{x}\)，且\(g(x)\)在区间\((0，2]\)上为减函数，求实数\(a\)的取值范围。

分析：\(g(x)=f(x)+\cfrac{a}{x}=x+\cfrac{a+1}{x}\)，则\(g'(x)=1-\cfrac{a+1}{x^2}\)，

由于\(g(x)\)在区间\((0，2]\)上为减函数，则\(g'(x)=1-\cfrac{a+1}{x^2}\leq 0\)在区间\((0，2]\)上恒成立，

即\(a+1\ge x^2\)在区间\((0，2]\)上恒成立，则\(a+1\ge 4\)，即\(a\ge 3\)，

故实数\(a\)的取值范围为\([3，+\infty)\)。