函數的對稱性習題

前言

主動研究函數的對稱性，利用函數的對稱性求值會變得很簡單。

• 相關閱讀：

1、函數的對稱性；

2、函數的對稱性常用結論；

3、抽象函數的對稱性驗證；

4、三角函數的對稱性；

典例剖析

利用對稱性求值；

例1 【2017•合肥模擬】【共用對稱中心】已知定義在\(R\)上的函數\(f(x)\)滿足：\(f(x+2)=f(x)\)，同時滿足\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^2+2，x\in[0，1)}\\{2-x^2，x\in [-1，0)，}\end{array}\right.\) 且\(g(x)=\cfrac{2x+5}{x+2}\)，則方程\(f(x)=g(x)\)在區間\([-5，1]\)上的所有實根之和為___________.

解析：\(g(x)=\cfrac{2x+5}{x+2}=2+\cfrac{1}{x+2}\)，其對稱中心是\((-2，2)\)，由題意知函數\(f(x)\)的周期為\(2\)，

則函數\(f(x)\)，\(g(x)\)在區間\([-5,1]\)上的圖像如圖所示，由圖可知函數\(f(x)\)，

\(g(x)\)的圖像在區間\([-5,1]\)上的交點為\(A、B、C\)，易知點\(B\)的橫坐標為\(-3\)，

設\(C\)的橫坐標為\(t(0<t<1)\)，則由對稱性知點\(A\)的橫坐標為\(-4-t\)，

所以方程\(f(x)=g(x)\)在區間\([-5,1]\)上的所有實數根之和為\(-3+t+(-4-t)=-7\)。

例2 【2016高考理科數學全國卷2第12題】【共用對稱中心】已知函數\(f(x)(x\in R)\)滿足\(f(-x)=2\) \(-f(x)\)，若函數\(y=\cfrac{x+1}{x}\)與函數\(y=f(x)\)圖像的交點為\((x_1，y_1)\)，\((x_2，y_2)\)，\(\cdots\)，\((x_m，y_m)\)，則\(\sum\limits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}\)的值為【】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：由題目可知\(f(x)+f(-x)=2\)，即函數\(f(x)\)圖像關於點\((0，1)\)對稱，

而函數\(y=\cfrac{x+1}{x}=1+\cfrac{1}{x}\)圖像也關於點\((0，1)\)對稱，即兩個函數圖像有相同的對稱中心，

那么二者的交點個數一定有偶數個，如圖所示， 可知對橫坐標而言有\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=0\)，

而對縱坐標而言，成對的點的個數是\(\cfrac{m}{2}\)個，他們中的每一對滿足\(\cfrac{y_1+y_m}{2}=1\)，

即\(y_1+y_m=2\)，故\(\sum\limits_{i=1}^m{y_i}=2\cdot \cfrac{m}{2}=m\)，

故\(\sum\limits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}=\sum\limits_{i=1}^m{x_i}+\sum\limits_{i=1}^m{y_i}=m\)，故選\(B\)。

例3 【2016高考文科數學全國卷2第12題】【共用對稱軸】已知函數\(f(x)(x\in R)\)滿足\(f(x)=f(2-x)\)，若函數\(y=|x^2-2x-3|\)與函數\(y=f(x)\)圖像的交點為\((x_1，y_1)，(x_2，y_2)，\cdots，(x_m，y_m)\)，則\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}\)的值為【】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：函數\(f(x)(x\in R)\)滿足\(f(x)=f(2-x)\)，則函數的對稱軸是直線\(x=1\)，

而函數\(y=|x^2-2x-3|=|(x-1)^2-4|\)的對稱軸也是直線\(x=1\)，作出函數的圖像如右圖所示，

則二者的交點個數\(m\)一定是偶數個，兩兩配對的個數為\(\cfrac{m}{2}\)，比如\(A\)和\(B\)配對，

則有\(\cfrac{x_1+x_m}{2}=1\)，\(x_1+x_m=2\)，故\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=\cfrac{m}{2}\cdot 2=m\)，故選\(B\)。

例4 【2015 秋•寧德期末】【共用對稱軸】已知函數\(f(x)\)滿足\(f(x)=f(2-x)\)，且\(x\in[-1，1]\)時，\(f(x)=1-x^2\)，函數\(g(x)\)為偶函數，當\(x>0\)時，\(g(x)=\cfrac{1}{x}\)，則函數\(f(x)(x\in[-1，3])\)的圖像與函數\(g(x-1)\)的圖像的所有交點的橫坐標之和等於【 】

$A.0$ $B.2$ $C.4$ $D.6$

分析：由\(f(x)=f(2-x)\)，可知函數\(f(x)\)關於直線\(x=1\)對稱，函數\(g(x)\)為偶函數，則函數\(g(x-1)\)的圖像關於直線\(x=1\)對稱，

做出函數的簡圖如右所示，由圖可知，\(x_1+x_2=2\)，\(x_3+x_4=2\)，

所有交點的橫坐標之和等於\(2\times2=4\)。選\(C\)。

例5 已知函數\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{ln(-x)，x<0}\\{e^x+e^{2-x}-a，x\ge 0}\end{array}\right.\)，若\(f(x)\)的所有零點之和為\(1\)，則實數\(a\)的取值范圍是\((2e，e^2+1)\)；

【分析】容易求出其中一個零點\(x=-1\)，然后研究\(x\ge 0\)時的函數\(f(x)\)的對稱性，由圖像的對稱性和單調性得出函數在\(x\ge 0\)上的兩個對稱的零點的條件，從而得到\(a\)的取值范圍。

【解答】當\(x<0\)時，由\(ln(-x)=0\)，得到函數的一個零點是\(x=-1\)，

當\(x\ge 0\)時，\(f(x)=e^x+e^{2-x}-a\)，\(f(2-x)=e^{2-x}+e^x-a\)，故\(f(x)=f(2-x)\)，

即此時函數\(f(x)\)的圖像關於直線\(x=1\)對稱(此時函數圖像部分對稱，若去掉\(x\ge 0\)的限制，函數圖像完全對稱)，

此時函數若有零點，則必然滿足\(x_1+x_2=2\)，故所有零點之和為1，滿足題意；

又\(f'(x)=e^x-e^{2-x}\)，當\(x\in (0，1)\)時，\(f'(x)<0\)，即\(f(x)\)單調遞減，當\(x\in (1，+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，即\(f(x)\)單調遞增，

故函數\(f(x)_{min}=f(1)=e^1+e^{2-1}-a=2e-a\)；

但要使得函數\(f(x)\)有零點必須滿足條件\(f(x)_{min}<0\)且\(f(0)>0\)，（這是為了保證函數有兩個零點，且在\((0，1)\)段上的零點必須存在）

即\(2e-a<0\)且\(e^0+e^2-a>0\)，解得\(2e<a<e^2+1\)，

【點評】①本題目考查函數的零點，考查的很靈活，借助圖像類似開口向上的拋物線的函數的對稱性考查零點的存在性，很有創意，

而且我們一般很難想到研究函數的對稱性。大多可能會朝對勾形函數做轉化，結果思路變得模糊而不可解。

②對抽象函數而言，當我們看到條件\(f(x)=f(2-x)\)，肯定能想到函數有對稱軸\(x=1\)，但碰到具體的函數我們取往往想不到用\(f(x)=f(2-x)\)來判斷函數的對稱性。

例6 【利用對稱性求值】若\(f(x)=\cfrac{3x-2}{2x-1}\)，則\(f(\cfrac{1}{11})+f(\cfrac{2}{11})+f(\cfrac{3}{11})+\cdots+f(\cfrac{10}{11})\)的值是多少？

法1：結合要求解的條件，我們嘗試求解\(f(x)+f(1-x)\)的值，結果會發現：\(f(x)+f(1-x)=3\)，

故有\(f(\cfrac{1}{11})+f(\cfrac{10}{11})=3\);\(f(\cfrac{2}{11})+f(\cfrac{9}{11})=3\)；等等，

所以\(f(\cfrac{1}{11})+f(\cfrac{2}{11})+f(\cfrac{3}{11})+\cdots+f(\cfrac{10}{11})\)

\(=5[f(\cfrac{1}{11})+f(\cfrac{10}{11})]=5\times 3=15\).

法2：將函數\(f(x)\)化為部分分式為\(f(x)=\cfrac{3}{2}-\cfrac{1}{2(2x-1)}\)，

故函數\(f(x)\)的對稱中心是\((\cfrac{1}{2}，\cfrac{3}{2})\)，

故根據函數的對稱性的數學表達可以寫出\(f(x)+f(1-x)=3\)；

故所求式等於\(5\times 3=15\).

法3：本題目也可以說明倒序相加求和法。

例7 已知函數\(f(x)=ax^2+bx+c(a>0)\)，若\(m\)滿足關於\(x\)的方程\(2ax+b=0\)，則下列選項中的命題為真命題的是【】

$A.$存在$x\in R，f(x) < f(m)$

$B.$存在$x\in R，f(x) > f(m)$

$C.$任意$x\in R，f(x)\leq f(m)$

$D.$任意$x\in R，f(x)\ge f(m)$

分析：由題目\(m\)滿足關於\(x\)的方程\(2ax+b=0\)，即\(m=-\cfrac{b}{2a}\)，

又二次函數\(f(x)\)開口向上，\(x=-\cfrac{b}{2a}\)為其對稱軸，故其有最小值\(f(-\cfrac{b}{2a})\)，

即\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{b}{2a})=f(m)\)，故對任意\(x\in R\)，\(f(x)\ge f(m)\) ，故選\(D\)。

例7-1 函數\(f(x)=2cos(\omega x+\phi)(\omega\neq 0)\)對任意\(x\)都有\(f(\cfrac{\pi}{4}+x)=f(\cfrac{\pi}{4}-x)\)成立，則\(f(\cfrac{\pi}{4})\)的值為【】

$A、2或0$ $B、-2或2$ $C、0$ $D、-2或0$

分析：由任意\(x\)都有\(f(\cfrac{\pi}{4}+x)=f(\cfrac{\pi}{4}-x)\)成立，可知\(x=\cfrac{\pi}{4}\)為函數的一條對稱軸，

而正弦型或余弦型函數在對稱軸處必然會取到最值，故\(f(\cfrac{\pi}{4})=\pm 2\)，選B。

解后反思：此題目如果不注意函數的性質，往往會想到求\(\omega\)和\(\phi\)，這樣思路就跑偏了。

例8 【利用類對稱性求值】【2017寶雞中學第一次月考第15題】已知函數\(f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\)，則\(2f(2)+\)\(2f(3)+\)\(\cdots+2f(2017)\)\(+f(\frac{1}{2})+\)\(f(\frac{1}{3})\)\(+\cdots+f(\frac{1}{2017})\)\(+\frac{1}{2^2}f(2)+\)\(\frac{1}{3^2}f(3)+\cdots+\)\(\frac{1}{2017^2}f(2017)\)的值為多少？

分析：從研究函數的特殊性質入手，切入點是給定式子的結構；注意到自變量有\(2\)和\(\cfrac{1}{2}\)，

所以先嘗試探究\(f(x)+f(\frac{1}{x})\)，結果，\(f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x^2}{1+x^2}+\cfrac{(\frac{1}{x})^2}{1+(\frac{1}{x})^2}=1\)，

這樣就可以將中的一部分求值，剩余其他部分里面的代表為\(f(2)+\cfrac{1}{2^2}f(2)\)，

故接下來探究\(f(x)+\cfrac{1}{x^2}f(x)=？\)，結果發現\(f(x)+\cfrac{1}{x^2}f(x)=\cfrac{x^2}{1+x^2}+\cfrac{1}{x^2}\cdot\cfrac{x^2}{1+x^2}=1\)，

到此我們以及對整個題目的求解心中有數了，則整個題目的求解思路基本清晰了。

解析：由\(f(x)+f(\cfrac{1}{x})=1\)和\(f(x)+\cfrac{1}{x^2}f(x)=1\)，可將所求式子變形得到：

\(2f(2)+2f(3)+\cdots+2f(2017)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+\cdots+f(\frac{1}{2017})+\frac{1}{2^2}f(2)\) \(+\frac{1}{3^2}f(3)+\cdots+\)\(\frac{1}{2017^2}f(2017)\)

\(=\{[f(2)+f(\frac{1}{2})]+[f(3)+f(\frac{1}{3})]+\cdots+[f(2017)+f(\frac{1}{2017})]\}\) \(+\{[f(2)+\frac{1}{2^2}f(2)]+[f(3)+\frac{1}{3^2}f(3)]+\cdots++[f(2017)+\frac{1}{2017^2}f(2017)]\}\)

\(=2016+2016=4032\).

例9 【2019鳳翔中學高一數學期末考試第12題】已知函數\(f(x)=x+sin\pi x-3\)，則\(f(\cfrac{1}{2017})\)\(+f(\cfrac{2}{2017})\)\(+\cdots\) \(+f(\cfrac{4032}{2017})\)\(+f(\cfrac{4033}{2017})\)的值為【】

$A.4033$ $B.-4033$ $C.8066$ $D.-8066$

分析：注意到需要求值的到兩端等距離的自變量的和為\(x_1+x_2=2\)，故我們想到驗證\(f(x)+f(2-x)=?\)

\(f(x)+f(2-x)=x+sin\pi x-3+(2-x)+sin\pi(2-x)-3\)

\(=sin\pi x+sin(2\pi-\pi x)-4=sin\pi x-sin\pi x-4=-4\)，

故\(f(\cfrac{1}{2017})+f(\cfrac{2}{2017})+\cdots\) \(+f(\cfrac{4032}{2017})+f(\cfrac{4033}{2017})\)

\(=[f(\cfrac{1}{2017})+f(\cfrac{4033}{2017})]+[f(\cfrac{2}{2017})+f(\cfrac{4032}{2017})]+\cdots+\)\([f(\cfrac{2016}{2017})+\)\(f(\cfrac{2018}{2017})]+\)\(f(\cfrac{2017}{2017})\)

\(=2016\times(-4)+f(1)=-8064+1+0-3=-8066\)，故選\(D\)。

解后反思：①由\(f(x)+f(2-x)=-4\)可知，函數\(f(x)\)的圖像必然會關於點\((1，-2)\)成中心對稱圖形；

②其實這個函數的對稱中心有無窮多個，比如函數還滿足\(f(x)+f(4-x)=-2\)，這一點我們可以自行驗證，即期對稱中心還有\((2，-1)\)；

③其實給定的函數中還有一個性質可以挖掘，令\(g(x)=x+sin\pi x\)，則原函數\(f(x)\)中的部分所構成的函數\(g(x)\)是個奇函數，故滿足\(g(x)+g(-x)=0\)，

則\(f(x)=g(x)-3\)，那么\(f(x)+f(-x)=g(x)-3+g(-x)-3=-6\)，即函數還有個對稱中心為\((0，-3)\)；

④那么我們為什么會想到用\(f(x)+f(2-x)=-4\)而不用\(f(x)+f(4-x)=-2\)呢？主要是基於我們觀察得到的到兩端等距離的兩項的自變量之和為定值\(x_1+x_2=2\)。

利用對稱性證明；

例10 【對稱性證明】已知函數\(f(x)=x^3-x^2-x+\cfrac{11}{27}\)，求證：函數\(f(x)\)的圖像關於點\((\cfrac{1}{3}，0)\)對稱。

法1：利用思路\(f(\cfrac{2}{3}-x)+f(x)=0\)證明；

\(f(\cfrac{2}{3}-x)=(\cfrac{2}{3}-x)^3-(\cfrac{2}{3}-x)^2-(\cfrac{2}{3}-x)+\cfrac{11}{27}=\cdots\)，

故有\(f(\cfrac{2}{3}-x)+f(x)=0\)，

即函數\(f(x)\)的圖像關於點\((\cfrac{1}{3}，0)\)對稱。

法2：將函數\(f(x)\)向左平移\(\cfrac{1}{3}\)個單位，得到\(f(x+\cfrac{1}{3})=x^3-\cfrac{4}{3}x=g(x)\)，

由於\(g(-x)=-x^3+\cfrac{4}{3}x=-g(x)\)，故證明了\(g(x)\)為奇函數，

從而將函數\(g(x)\)向右平移\(\cfrac{1}{3}\)個單位，對稱中心變為點\((\cfrac{1}{3}，0)\)，

故證明函數\(f(x)\)的圖像關於點\((\cfrac{1}{3}，0)\)對稱。

例11 【兩個函數關於某一點對稱】給定命題，函數\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)和函數\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)的圖像關於原點對稱，試判斷命題的真假。

【分析】：如果函數\(f(x)\)的圖像和函數\(g(x)\)的圖像關於原點對稱，

則函數\(f(x)\)上的任意一點\((x_0，y_0)\)關於原點的對稱點\((-x_0，-y_0)\)，必然在函數\(g(x)\)的圖像上。

解答：先化簡函數\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})=cos(2x-\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\pi}{2})\)，

\(g(x)=cos[\cfrac{\pi}{2}-(2x-\cfrac{\pi}{4})]=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)，

\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)

在函數\(f(x)\)圖像上任意取一點\(P(x_0，y_0)\)，

則其關於原點的對稱點為\(P'(-x_0，-y_0)\)，

將點\(P(x_0，y_0)\)代入函數\(f(x)\)，得到\(y_0=sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)

則\(-y_0=-sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)，即\(-y_0=sin(2\cdot(-x_0)-\cfrac{\pi}{4})\)，

即點\(P'(-x_0，-y_0)\)在函數\(g(x)=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)上，

也即點\(P'(-x_0，-y_0)\)在函數\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)上，

又由點\(P(x_0，y_0)\)的任意性可知，

函數\(f(x)\)和函數\(g(x)\)的圖像必然關於原點對稱，

故為真命題。

綜合應用

例12 【2019屆高三理科數學函數的圖像課時作業第17題】已知函數\(f(x)\)的圖像與函數\(h(x)=x+\cfrac{1}{x}+2\)的圖像關於點\(A(1，0)\)對稱，

（1）求\(f(x)\)的解析式；

分析：設\(f(x)\)圖像上任一點\(P(x，y)\)，則點\(P\)關於\((0，1)\)點的對稱點\(P'(-x，2-y)\)必在\(h(x)\)的圖像上，

即\(2-y=-x-\cfrac{1}{x}+2\)，即\(y=f(x)=x+\cfrac{1}{x}(x\neq 0)\)。

（2）若\(g(x)=f(x)+\cfrac{a}{x}\)，且\(g(x)\)在區間\((0，2]\)上為減函數，求實數\(a\)的取值范圍。

分析：\(g(x)=f(x)+\cfrac{a}{x}=x+\cfrac{a+1}{x}\)，則\(g'(x)=1-\cfrac{a+1}{x^2}\)，

由於\(g(x)\)在區間\((0，2]\)上為減函數，則\(g'(x)=1-\cfrac{a+1}{x^2}\leq 0\)在區間\((0，2]\)上恆成立，

即\(a+1\ge x^2\)在區間\((0，2]\)上恆成立，則\(a+1\ge 4\)，即\(a\ge 3\)，

故實數\(a\)的取值范圍為\([3，+\infty)\)。