高一函數專題 函數的周期性和對稱性

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模塊導圖

知識剖析

函數的周期性

1 概念
對於函數\(y=f(x)\)，如果存在一個不為零的常數\(T\)，使得當\(x\)取定義域內的每一個值時，\(f(x+T)=f(x)\)都成立，那么把函數\(y=f(x)\)叫做周期函數，常數\(T\)叫做這個函數的周期.

\({\color{Red}{ Eg }}\)

上圖是三角函數$f(x)=\sin x$的圖像 ① 函數圖像可看成由紅色那段圖像玩“分身術”的向兩邊延申； ② 紅色圖像的水平長度為$AB=2π$，它就是函數的最小正周期$T$，即$T=2π$； (思考：$4π$是周期么) ③ 整個函數，對於任何$x$，都有$f(x+2π)=f(x)$. (簡單說來，兩個自變量相差$2π$，它們對應的函數值均相等) 下面兩個圖像也是周期函數的圖像！他們的周期是什么？最小正周期呢？

 

2 常見的結論
① 若\(f(x+a)=f(x+b)\)，則\(y=f(x)\)的周期是\(T=a-b\)
② 若\(f(x+a)=-f(x)\)，則\(y=f(x)\)的周期是\(T=2a\)
\({\color{Red}{(你可證明試試)}}\)
③ 若\(f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}\)，則\(y=f(x)\)的周期是\(T=2a\)

函數的對稱性

函數圖象自身的對稱關系

1 軸對稱
若\(f(x+a)=f(b-x)\), 則\(y=f(x)\)有對稱軸\(x=\dfrac{a+b}{2}\)
 

2 中心對稱
若函數\(y=f(x)\)定義域為\(R\)，且滿足條件\(f(a+x)+f(b-x)=c\)(\(a\),\(b\),\(c\)為常數)，則函數\(y=f(x)\)的圖象關於點\(\left(\dfrac{a+b}{2}, \dfrac{c}{2}\right)\)對稱.

 

兩個函數圖象之間的對稱關系

1 軸對稱
若函數\(y=f(x)\)定義域為\(R\)，則兩函數\(y=f(x+a)\)與\(y=f(b-x)\)的圖象關於直線\(x=\dfrac{b-a}{2}\)對稱.
特殊地，函數\(y=f(a+x)\)與函數\(y=f(a-x)\)的圖象關於直\(x=0\)對稱.

 

2 中心對稱
若函數\(y=f(x)\)定義域為\(R\)，則兩函數\(y=f(a+x)\)與\(y=c-f(b-x)\)的圖象關於點\(\left(\dfrac{b-a}{2}, \dfrac{c}{2}\right)\)對稱.
特殊地，函數\(y=f(x+a)\)與函數\(y=-f(b-x)\)圖象關於點\(\left(\dfrac{b-a}{2}, 0\right)\)對稱.
 

周期性與對稱性拓展

\((1)\)若函數\(y=f(x)\)同時關於直線\(x=a\),\(x=b\)對稱，則函數\(y=f(x)\)的周期\(T=2|b-a|\)；特殊地，若偶函數\(y=f(x)\)的圖像關於直線\(x=a\)對稱，則函數\(y=f(x)\)的周期\(T=2|a|\)；

\((2)\)若函數\(y=f(x)\)同時關於點\((a ,0)\),\((b ,0)\)對稱，則函數\(y=f(x)\)的周期\(T=2|b-a|\)；

\((3)\)若函數\(y=f(x)\)同時關於直線\(x=a\)對稱，又關於點\((b ,0)\)對稱 , 則函數\(y=f(x)\)的周期
\(T=4|b-a|\)；
特殊地，若奇函數\(y=f(x)\)的圖像關於直線\(x=a\)對稱，則函數\(y=f(x)\)的周期\(T=4|a|\).
 

經典例題

【題型一】函數的周期性

【典題1】 設\(f(x)\)是周期為\(4\)的奇函數，當\(0≤x≤1\)時，\(f(x)=x(1+x)\)，則\(f\left(-\dfrac{9}{2}\right)=\) \(\underline{\quad \quad }\)

【解析】 \(∵f(x)\)是周期為\(4\)的奇函數，
當\(0≤x≤1\)時，\(f(x)=x(1+x)\)，
\(\therefore f\left(-\dfrac{9}{2}\right)=f\left(-\dfrac{9}{2}+4\right)=f\left(-\dfrac{1}{2}\right)\)\(=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{4}\).
 

【典題2】 設偶函數\(f(x)\)對任意\(x∈R\)，都有\(f(x+3)=-\dfrac{1}{f(x)}\)，且當\(x∈[-3 ,-2]\)時，\(f(x)=4x\)，則\(f(107.5)=\) \(\underline{\quad \quad }\)．
【解析】 \(∵f(x+3)=-\dfrac{1}{f(x)}\)，
\(\therefore f(x+6)=-\dfrac{1}{f(x+3)}=-\dfrac{1}{-\frac{1}{f(x)}}=f(x)\)，
\(∴\)函數\(f(x)\)是以\(6\)為周期的函數．
\(∵\)當\(x∈[-3 ,-2]\)時，\(f(x)=4x\)，
\(\therefore f(107.5)=f(6 \times 17+5.5)=f(5.5)=-\dfrac{1}{f(2.5)}\)\(=-\dfrac{1}{f(-2.5)}=-\dfrac{1}{4 \times(-2.5)}=\dfrac{1}{10}\)．
故答案為\(\dfrac{1}{10}\)．
【點撥】
① 在求值過程中，比如本題中求\(f(107.5)\)，先用函數周期性把\(107.5\)這個數值變小些，盡量向\([-3 ,-2]\)靠攏.
② 函數綜合性的題型，可用數形結合的方法找到思考的方向.
 

鞏固練習

1 (★★) 已知定義在\(R\)上的奇函數\(f(x)\)，滿足\(f(x+4)=-f(x)\)，且在\([0 ,2]\)上單調遞減，則(　)
A．\(f(8)<f(11)<f(15)\)\(\qquad \qquad \qquad\)B．\(f(11)<f(8)<f(15)\)\(\qquad \qquad\)
C．\(f(15)<f(11)<f(8)\)\(\qquad \qquad \qquad\)D．\(f(15)<f(8)<f(11)\)
 

2 (★★) 已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上周期為\(2\)的函數，當\(x∈[-1 ,1]\)時，\(f(x)=|x|\)，那么當\(x∈[-7 ,-5]\)時，\(f(x)=\) \(\underline{\quad \quad }\).
 

3 (★★★) 設函數\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，滿足\(f(x+1)=-f(x-1)\)，若\(f(-1)>1\)，
\(f(5)=a^2-2a-4\)，則實數\(a\)的取值范圍是\(\underline{\quad \quad }\).
 
 

參考答案

1.\(B\)
2.\(|x+6|\)
3.\((-1 ,3)\)
 

【題型二】函數圖象自身的對稱關系

【典題1】 定義在\(R\)上的函數\(f(x)\)的圖象關於點\(\left(-\dfrac{3}{4}, 0\right)\)成中心對稱且對任意的實數\(x\)都有\(f(x)=-f\left(x+\dfrac{3}{2}\right)\)且\(f(-1)=1\),\(f(0)=-2\)，則\(f(1)+f(2)+⋯+f(2014)=\) \(\underline{\quad \quad }\).
【解析】 \(∵f(x)=-f\left(x+\dfrac{3}{2}\right)\)，
\(\therefore f\left(x+\dfrac{3}{2}\right)=-f(x)\),
則\(f(x+3)=-f\left(x+\dfrac{3}{2}\right)=f(x)\)
\(∴f(x)\)是周期為\(3\)的周期函數．
\({\color{Red}{(確定周期后，接着求前三項和f(1)+f(2)+f(3)便可)}}\)
則\(f(2)=f(-1+3)=f(-1)=1\),\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-f(-1)=-1\)
\(∵\)函數\(f(x)\)的圖象關於點\(\left(-\dfrac{3}{4}, 0\right)\)成中心對稱，
\(\therefore f(1)=-f\left(-\dfrac{5}{2}\right)=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1\)
\(∵f(3)=f(0)=-2\)
\(∴f(1)+f(2)+f(3)=1+1-2=0\)
\(∴f(1)+f(2)+⋯+f(2014)=f(1)=1\)
 

【典題2】 已知函數\(f(x)=\dfrac{2 x^{2}}{x^{2}-4 x+8}\)，則(　　)
A．函數\(f(x)\)的圖象關於\(x=2\)對稱 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．函數\(f(x)\)的圖象關於\(x=4\)對稱
C．函數\(f(x)\)的圖象關於\((2 ,2)\)對稱 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．函數\(f(x)\)的圖象關於\((4 ,4)\)對稱
【解析】 \({\color{Red}{方法一 利用函數平移和奇偶性}}\)
對於A選項：若函數\(f(x)\)的圖象關於\(x=2\)對稱，
則\(y=f(x+2)\)是偶函數，
而\(y=f(x+2)=\dfrac{2(x+2)^{2}}{x^{2}+4}\)不是偶函數，
\(∴A\)錯誤；
對於\(B\)選項，可以采取類似選項\(A\)的方法排除；
對於\(C\)選項：若函數\(f(x)\)的圖象關於\((2 ,2)\)對稱，則函數向左和向下均平移\(2\)個單位的函數關於原點對稱，即\(y=f(x+2)-2\)是奇函數.
易得\(y=f(x+2)-2=\dfrac{2(x+2)^{2}}{x^{2}+4}-2=\dfrac{8 x}{x^{2}+4}\)是奇函數，
\(∴C\)正確；
對於\(D\)選項：若函數\(f(x)\)的圖象關於\((4 ,4)\)對稱，則函數向左和向下均平移\(4\)個單位的函數關於原點對稱，即\(y=f(x+4)-4\)是奇函數.
而\(y=f(x+4)-4=\dfrac{2(x+4)^{2}}{(x+2)^{2}+4}-4=-\dfrac{2 x^{2}}{(x+2)^{2}+4}\)
不是奇函數，
\(∴D\)錯誤．
故選\(C\)．
\({\color{Red}{方法二 利用函數自身的軸對稱和中心對稱關系}}\)
利用函數自身的軸對稱關系:若\(f(x+a)=f(b-x)\), 則\(y=f(x)\)有對稱軸\(x=\dfrac{a+b}{2}\).
對於\(A\)選項：若函數\(f(x)\)的圖象關於\(x=2\)對稱，
則有\(f(4-x)=f(x)\)
而\(f(4-x)=\dfrac{2(4-x)^{2}}{(4-x)^{2}-4(4-x)+8}\)\(=\dfrac{2(4-x)^{2}}{x^{2}-4 x+8} \neq \dfrac{2 x^{2}}{x^{2}-4 x+8}=f(x)\),
\(∴A\)錯誤；
對於\(B\)選項：若函數\(f(x)\)的圖象關於\(x=4\)對稱，
則有\(f(8-x)=f(x)\)，
而\(f(8-x)=\dfrac{2(8-x)^{2}}{(8-x)^{2}-4(8-x)+8}\)\(=\dfrac{2(8-x)^{2}}{x^{2}-12 x+40} \neq \dfrac{2 x^{2}}{x^{2}-4 x+8}=f(x)\),
\(∴B\)錯誤；
利用函數自身的中心對稱關系：
若\(f(a+x)+f(b-x)=c\)(\(a\),\(b\),\(c\)為常數),
則函數\(f(x)\)的圖象關於點\(\left(\dfrac{a+b}{2}, \dfrac{c}{2}\right)\)對稱.
對於\(C\)選項：若函數\(f(x)\)的圖象關於\((2 ,2)\)對稱，
則\(f(x)+f(4-x)=4\)，
易得\(f(x)+f(4-x)\)\(=\dfrac{2 x^{2}}{x^{2}-4 x+8}+\dfrac{2(4-x)^{2}}{x^{2}-4 x+8}=4\)，
\(∴C\)正確；
對於\(D\)選項：若函數\(f(x)\)的圖象關於\((4 ,4)\)對稱，
則\(f(x)+f(8-x)=8\)，
而\(f(x)+f(8-x)\)\(=\dfrac{2 x^{2}}{x^{2}-4 x+8}+\dfrac{2(8-x)^{2}}{x^{2}-12 x+40}\)顯然不恆等於\(8\)，
\(∴D\)錯誤．
故選\(C\)．
\({\color{Red}{方法三 取特殊值排除法}}\)
對於\(A\)選項：\(f(0)=0\)，\(f(4)≠0\)，故函數\(f(x)\)的圖象不可能關於\(x=2\)對稱，排除\(A\)；
對於\(B\)選項：\(f(0)=0\)，\(f(8)≠0\)，故函數\(f(x)\)的圖象不可能關於\(x=4\)對稱，排除\(B\)；
對於\(D\)選項：\(f(0)=0\)，\(f(8)=\dfrac{16}{5} \neq 8\)，故函數\(f(x)\)的圖象不可能關於\((4 ,4)\)對稱，排除\(D\)；
故選\(C\)．
【點撥】
① 從三種方法來說，顯然大家覺得方法三有種秒殺的感覺，很爽，從應試的角度來講是這樣子的.從提高數學能力的角度，還是需要好好領會下方法一、二；
② 方法一需要理解抽象函數的平移變換：左加右減，上加下減，它充分體現了數形結合的力量；
③ 方法一其實也是方法二的一種特殊情況的表現；
對於函數自身的軸對稱和中心對稱關系
(1) 軸對稱:若\(f(x+a)=f(b-x)\), 則\(y=f(x)\)有對稱軸\(x=\dfrac{a+b}{2}\).
對於選項\(A\)，令\(a=b=2\),有\(f(x+2)=f(2-x)\)，
即證明\(f(x+2)\)是偶函數便可.
(2) 中心對稱:若函數\(y=f(x)\)滿足條件\(f(a+x)+f(b-x)=c\)(\(a\),\(b\),\(c\)為常數)，則函數\(y=f(x)\)的圖象關於點\(\left(\dfrac{a+b}{2}, \dfrac{c}{2}\right)\)對稱.
對於選項\(C\)，令\(a=b=2\)，\(c=4\)，有\(f(2+x)+f(2-x)=4\)\(\Rightarrow f(2+x)-2=2-f(2-x)\),
即證明\(y=f(2+x)-2\)是奇函數.
 

【題型三】兩個函數圖象之間的對稱關系

【典題1】 下列函數中，其圖象與函數\(y=lgx\)的圖象關於點\((1 ,0)\)對稱的是(　　)
A．\(y=\lg(1-x)\) \(\qquad\)B．\(y=\lg(2-x)\)\(\qquad\)C．\(y=\log _{0.1}(1-x)\) \(\qquad\)D．\(y=\log _{0.1}(2-x)\)
【解析】 設所求函數圖象上任意一點\(P(x ,y)\)，
則\(P(x ,y)\)關於\((1 ,0)\)對稱的點\((2-x ,-y)\)在\(y=lgx\)上，即\(-y=lg(2-x)\)，
所以\(y=-\lg (2-x)=\log _{0.1}(2-x)\)
故選：\(D\)．

【典題2】 下列函數中，其圖象與函數\(y=2^x\)的圖象關於直線\(y=1\)對稱的是\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】 設\(P(x ,y)\)為所求函數圖象上的任意一點，
它關於直線\(y=1\)對稱的點是\(Q(x ,2-y)\)．
由題意知點\(Q(x ,2-y)\)在函數\(y=2^x\)的圖象上，
則\(2-y=2^x\)，即\(y=2-2^x\)．
【點撥】 這種涉及函數對稱性、平移去求解析式的題，常用代入法.
 

鞏固練習

1(★★)已知函數\(f(x)=\dfrac{a x+2}{x-6}\)的對稱中心為\((b ,1)\)，則\(a=\)　 　；\(b=\) \(\underline{\quad \quad }\)．
 

2(★★)【多選題】函數\(f(x)\)的圖象關於直線\(x=1\)對稱，那么(　　)
A．\(f (2-x)=f (x)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(f (1-x)=f (1+x)\)
C．函數\(y=f (x+1)\)是偶函數 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．函數\(y=f (x-1)\)是偶函數
 

3(★★★)已知函數\(f(x)=\ln x+\ln(a-x)\)的圖象關於直線\(x=1\)對稱，則函數\(f(1)\)的值為 (　 )
A．\(0\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(\ln a\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(-1\)
 

4(★★★)已知函數\(f(x)=\ln \dfrac{x}{4-x}\)，則(　　)
A．\(y=f(x)\)的圖象關於點\((2 ,0)\)對稱
B．\(y=f(x)\)的圖象關於直線\(x=2\)對稱
C．\(f(x)\)在\((0 ,4)\)上單調遞減
D．\(f(x)\)在\((0 ,2)\)上單調遞減，在\((2 ,4)\)上單調遞增
 

5(★★)同一平面直角坐標系中，函數\(y=2^{x+1}\)與\(y=2^{1-x}\)的圖象(　　)
A．關於原點對稱 \(\qquad \qquad\) B．關於\(x\)軸對稱 \(\qquad \qquad\) C．關於\(y\)軸對稱 \(\qquad \qquad\) D．關於直線\(y=x\)對稱
 

6(★★★)【多選題】已知定義在\(R\)上的函數\(y=f(x)\)滿足條件\(f(x+2)=-f(x)\)，且函數\(y=f(x-1)\)為奇函數，則(　　)
A．函數\(y=f(x)\)是周期函數
B．函數\(y=f(x)\)的圖象關於點\((-1 ,0)\)對稱
C．函數\(y=f(x)\)為\(R\)上的偶函數
D．函數\(y=f(x)\)為\(R\)上的單調函數
 

答案

1.\(1，6\)
2.\(ABC\)
3.\(A\)
4.\(A\)
5.\(C\)
6.\(ABC\)