這份隨筆是本人對B站斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用 的學習筆記。
原課程網站：https://see.stanford.edu/Course/EE261
信號的周期化
我們希望建立的數學模型具有相當的普遍性，但並非所有的現象都是周期性的，實際的信號，最終都會結束，而 sin 和 cos 是無始無終的，永遠持續下去。比如下圖，信號只有在一段時間內的值非零，其余時間都是零。
解決方法是，我們可以通過重復這個圖形，把信號延申，使其具有時間上的周期性，即使我們只對其中一部分感興趣，但對於數學分析，如果信號具有周期性，那他的性質對所有部分都適應。一般我們把這種方法叫做 信號的周期化。
我們可以利用這種思想來研究非周期信號。
假定周期
為了方便討論，我們給周期現象假定周期為1，即
\[f ( t + 1 ) = f ( t ) \]
對於我們的數學模型，也使其周期為1，可以得到 sin(2πt) 與 cos(2πt)。
結論
我們可以使用 sin(2πt) 與 cos(2πt) 的組合來表示一般的周期為1的信號。
一個周期函數，包含多個頻率成分
sin(2πt) 的最小正周期為 1，頻率為 1，在1s內重復 1 次
sin(4πt) 的最小正周期為 1/2，頻率為 2，在1s內重復 2 次
sin(6πt) 的最小正周期為 1/3，頻率為 3，在1s內重復 3 次
但 1 都是他們的周期（比如sin(6πt) 把 3 次重復圖形看成 1 次重復的圖形）
把他們加起來會怎么樣？也就是 f(t)= sin(2πt) + sin(4πt) +sin(6πt) ,我們會得到
和式的周期是 1 .因為只有在最長周期的頻率成分重復時，整個和式信號才重復一次。
這就是為什么一個周期，包含多個頻率成分。而且，我們不單單可以改變頻率，也可以改變振幅和相位。
結論：一個復雜的周期為1的信號，可以通過先變換正弦函數或余弦函數的頻率，振幅，相位，然后相加獲得。
即
\[f(t)=\sum _{k=1}^n A_k sin \left(2 \pi k t+\varphi _k\right) \]
其中，k是正整數，k=1的頻率成分叫做基波，k>1的頻率成分叫做諧波。
正余弦形式
運用和角公式化成正余弦形式
\[\sin \left(\varphi _k+2 \text{k$\pi $t}\right)=cos (2 \text{k$\pi $t}) \sin (\varphi _k)+\sin (2 \pi k t) \cos(\varphi _k) \]
其中，\(sin(\varphi _k)\) 和 \(cos(\varphi _k)\) 是常數，所以可以得到我們常見的三角函數和式的形式：
\[f(t)=\sum _{k=1}^n \left(a_k\cos (2 \pi k t)+b_k\sin (2 \pi k t)\right) \]
\(a_k\) 和 \(b_k\) 和 振幅 A 有關。
這兩種形式是等價的。
加上常數項\(\frac{a_0}{2}\)來表示其中不變的部分（為什么是\(\frac{a_0}{2}\)？，這只是另一種表達形式而已，方便計算）：
\[f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n \left( a_k\cos (2 \pi k t)+b_k\sin (2 \pi k t)\right) \]
\(\frac{a_0}{2}\)在電子電力應用中，被稱為直流成分。
指數形式
為了方便計算，我們在運算中，經常用的其實是指數形式。
根據歐拉公式，
\[e^{2 \pi i k t}=\cos (2 \pi k t) +i sin(2 \pi \text{kt}) \ \]
其中，i=\(\sqrt{-1}\)
得
\[\cos (2 \pi k t)=\frac{1}{2} \left(e^{2 \pi i k t}+e^{-2 \pi i k t}\right) \]
\[\sin (2 \pi k t)=\frac{1}{2i} \left(e^{2 \pi i k t}-e^{-2 \pi i k t}\right) \]
帶入前面的三角函數形式的和式，
\[\begin{align} &\ a_k cos (2 \pi k t)+\ b_k sin (2 \pi k t)\\ =&\frac{a_{k}(e^{-2 \pi i k t}+e^{2 \pi i k t})}{2}+\frac{b_{k}(e^{2 \pi i k t}-e^{-2 \pi i k t})}{2}\\ =&\frac{1}{2} \left(a_k e^{-2 \pi i k t}+a_k e^{2 \pi i k t}\right)+\frac{1}{2} \left(b_k e^{2 \pi i k t}-b_k e^{-2 \pi i k t}\right)\\ =&\frac{1}{2} \left(a_k e^{-2 \pi i k t}-b_k e^{-2 \pi i k t}\right)+\frac{1}{2} \left(a_k e^{2 \pi i k t}+b_k e^{2 \pi i k t}\right)\\ =&\frac{1}{2} \left(a_k-b_k\right) e^{-2 \pi i k t}+\frac{1}{2} \left(a_k+b_k\right) e^{2 \pi i k t}\\ \end{align} \]
從前面到這里，k還是正整數，它作為改變頻率的系數，為了進一步化簡，我們把復指數上正負號移到k上，與k結合，那么k就變成任意正負整數。復指數上正負號給予了“k”正負，但無論是正還是負，\(a_k\)和\(b_k\)的下標都對應正的。
\[\begin{align} &\frac{1}{2} \left(a_k-b_k\right) e^{-2 \pi i k t}+\frac{1}{2} \left(a_k+b_k\right) e^{2 \pi i k t}\\ =&\frac{1}{2} \left(a_{- (-k)}-b_{- (-k)}\right) e^{2 \pi i (- k) t}+\frac{1}{2} \left(a_{+ (+k)}+b_{+ (+k)}\right) e^{2 \pi i (+ k) t} \end{align} \]
上式中，我們要把（-k）和（+k）看成一個整體，即此時，“k”還在實數域（其實這樣描述不太准確，但為了區分兩個域，我想不出更好描述，所以這里加了引號），（-k）代表k<0，（+k）代表k>0.。
所以這里的步驟，其實已經把三角函數形式的和式，進行分段操作，“k”進入復數域，是涵蓋正負的整數，這樣表示比較准確：
\[\frac{1}{2} \left(a_k-b_k\right) e^{-2 \pi i k t}+\frac{1}{2} \left(a_k+b_k\right) e^{2 \pi i k t}\to \begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} \frac{1}{2} \left(a_{k}+b_{k}\right) e^{2 \pi i k t} & k>0 \\ \frac{1}{2} \left(a_{-k}-b_{-k}\right) e^{2 \pi i k t} \ & k<0 \\ \end{array} \\ \end{array} \]
我們把\(\frac{1}{2}(a_k+b_k)\)和\(\frac{1}{2}(a_k-b_k)\)統一用\(C_k\)表示
\[C_k= \begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} \frac{1}{2}\left(a_{+ k}+b_{+ k}\right) \ & k>0 \\ \frac{1}{2}\left(a_{- k}-b_{- k}\right) \ & k<0 \\ \end{array} \\ \end{array} \]
注意，\(C_k\)是分段函數.
將\(C_k\)代入分段函數化簡，然后把各項頻率分量相加，我們可以得到
\[\begin{align} &\begin{array}{cc} \{ \begin{array}{cc} \frac{1}{2} \left(a_{k}+b_{k}\right) e^{2 \pi i k t} & k>0 \\ \frac{1}{2} \left(a_{-k}-b_{-k}\right) e^{2 \pi i k t} \ & k<0 \\ \end{array} \\ \end{array} \\ \Longleftrightarrow &\ C_k e^{2 \pi i k t}\\ \Longleftrightarrow &\sum _{k=-n}^n C_k e^{2 \pi i k t}\\ \end{align} \]
再思考一下，為什么k是從-n到n？
其實，這里的操作只是把原本的三角函數形式的和式，拆分為2次相加。
也就是說，在實數域中，三角函數形式的和式被分為兩部分，在復數域我們需要兩個式子相加，才能得到原本的實數域三角函數形式的和式。
比如在實域，當“k”=1時，
將三角函數形式的和式化為 tag（7）的形式為
\[\frac{1}{2} \left(a_{ 1}-b_{ 1}\right) e^{2 \pi i (- 1) t}+\frac{1}{2} \left(a_{ 1}+b_{ 1}\right) e^{2 \pi i ( 1) t}\\ \]
在復數域，當“k”=1時
\(C_k=\frac{1}{2}(a_k+b_k)\),
我們進行回推，得到
\[\begin{align} & C_1 e^{2 \pi i 1 t}\\ =&\frac{1}{2} \left(a_{1}+b_{1}\right) e^{2 \pi i (1) t}\\ \end{align} \]
我們需要加上“k”=-1，才能回推到實域
在復數域，當“k”=-1時，
\(C_k=\frac{1}{2}\left(a_{- k}-b_{- k}\right )\),
我們進行回推 ，得到
\[\begin{align} & C_{-1} e^{2 \pi i (-1) t}\\ =&\frac{1}{2} \left(a_{1}-b_{1}\right) e^{2 \pi i (-1) t}\\ \end{align} \]
我們看到，要把兩個指數形式的式子 相加，才能得到三角函數形式.
相加的和，還是實數，因為 兩個指數形式 的式子滿足共軛關系。
至此，我們就對普遍的周期性信號或現象完成了建模，我們得到最終簡化的式子
\[\begin{align} f(t)=&\sum _{k=-n}^n C_k e^{2 \pi i k t}\\ \end{align} \]
其中，我們假定 f(t) 周期為1。
和式中的系數
假設我們建模問題已經解決，我們對某個周期性信號建模：
\[\begin{align} f(t)=&\sum _{k=-n}^n C_k e^{2 \pi i k t}\\ \end{align} \]
f(t)是我們已經得到的信號，那么式子中未知量就是\(C_k\)。怎么求出\(C_k\)？
先用代數運算，從和式中取出\(C_m\)項
\[C_m e^{2 \pi i m t}=f(t) -\sum _{k\neq m} C_k e^{2 \pi i k t} \]
\[C_m=f (t) e^{-2 \pi i m t}-\sum _{k\neq m} C_k e^{2 \pi i t (k-m)} \]
兩邊同時積分，
\[\int_0^1 C_m \, dt=C_m\\ C_m=\int_0^1 f (t) e^{-2 \pi i m t} \, dt-\sum _{k\neq m} C_k \int_0^1 e^{2 \pi i (k-m)t} \, dt \]
\[\begin{align} &\int_0^1 e^{2 \pi i (k-m)t} \, dt\\ =&\frac{e^{2 \pi i (k-m)}-e^0}{2 \pi i (k-m)}\\ &歐拉公式變換\\ =&\frac{i \sin (2 \pi (k-m))+\cos (2 \pi (k-m))-1}{2 \pi i (k-m)}\\ =&\frac{0+1-1}{2 \pi i (k-m)}\\ =&0 \end{align} \]
(K-M)是整數，所有累加項的和消失，剩下
\[C_m=\int_0^1 f (t) e^{-2 \pi i m t} \, dt \]
給定 f(t) ,我們就能求出對應分量的系數。
