這份是本人的學習筆記，課程為網易公開課上的斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用。
復習
上節課，我們假設了一般周期函數可以用$sin$來合成，並推導出了它的復指數公式：
$f(t)=\displaystyle{\sum_{k=-n}^n}C_ke^{2\pi ikt}$
然后，我們又推導出了$C_k$的求解公式：
$C_m=\displaystyle{\int_0^1}e^{-2\pi imt}f(t)dt$
現在，我們為$C_m$賦予一個新的名稱，傅里葉系數（fourier coefficient），用$\hat{f}(k)$表示。
即有
$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-n}^n}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}$
$\hat{f}(k) = \displaystyle{\int_0^1}e^{-2\pi ikt}f(t)dt$
通用性問題驗證
現在回到通用性這個問題，那么$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-n}^n}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}$這個多項式是否能表示一般周期函數？
下面舉個例子，
有如下圖信號：
我們可以簡單地得到該函數的傅里葉系數，
$\hat{f}(k) = \displaystyle{\int_0^{\frac{1}{2}}}e^{-2\pi ikt}dt$
其中，k為系數自變量，積分函數為$e^{-2\pi ikt}$，范圍是$0$到$\frac{1}{2}$，這樣已經可以直接算出一個數值了。那么我們是否可以這樣寫回去？
$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-n}^n} \hat{f}(k)e^{2\pi ikt}$
答案是否定的！還記得公式最初是從$f(t)=\displaystyle{\sum_{k=1}^n}A_ksin(2\pi kt+\varphi_k)$推導的么，對於上述信號的等式，等號的右邊是三角函數的組合，因此無限可微，而左邊，如上圖，是不連續的，因此不是無限可微的，因此式子兩邊不能畫上等號！
無限求和（infinite sums）
從幾何圖形上看，對於$sin$所畫的圖形，頻率越高，觀察上去往往就會覺得沒那么平滑，盡管它實際上是平滑的（無限可微）。那么我們就可以在數學上這樣考慮這個問題：如果傅里葉系數有無限多個項，是否就能用來表示一般周期函數？
$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}} \hat{f}(k)e^{2\pi ikt}$
收斂問題（issue of convergence）
在引入了$\infty$后，出現了一個新問題，就是在實際應用中，我們並不會計算無窮項，而會在有限項處截斷。在這時候，如果求和后是收斂的，那么我們會有足夠的信心可以得到所要信號的近似值；但是如果不是收斂的話，還能得到想要信號的合理近似值嗎？因此，我們需要去了解這個式子的收斂問題。
在本課程上，不會去證明收斂問題，而是直接給出了結論。
兩類特殊信號的收斂性如下：
- 如果信號是平滑連續的（連續可微），在所有的$t$處都會收斂於$f(t)$
- 如果信號是有跳變的，在跳變點將收斂於跳變點前、后的平均值。如下例子
設$t_0$為跳變點，$\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt_0}$收斂於$\frac{f(t_0^+)+f(t_0^-)}{2}$。
一般信號（也包括上述兩種情況）的收斂性在分析的時候，不采用逐點判斷收斂性的方法，用均方收斂（convergence in the mean）。
對於一個周期為1的函數，均方收斂需要滿足：
$\displaystyle{\int_0^1}\left| f(t) \right|^2dt<\infty$
上面的式子可以被理解為能量是有限的，這是一個合理的物理假設。
均方收斂的分析公式如下：
$\displaystyle{\int_0^1\left| \sum^{n}_{k=-n}\hat{f}(t)e^{2\pi ikt}-f(t) \right|^2dt}$
當$n \to \infty$的時候，上述式子$\to 0$則證明$\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}$是收斂於$f(t)$的