這份是本人的學習筆記，課程為網易公開課上的斯坦福大學公開課：傅里葉變換及其應用。
這節課目的
如何用像$sin$，$cos$這些簡單的函數來表示復雜周期函數。
信號周期化
並不是所有現象都是周期性的，而且即使是周期性的現象（時間周期性），最終都會終結。而$sin$，$cos$這些數學函數是無始無終的，那么我們該怎么做？
我們采用了一種叫信號周期化的方法：
設有如下信號（左）
我們可以把它無限復制，這樣就成了一個周期信號，然后研究我們感興趣的部分（單一周期內的信號）。
由於有了信號周期化這種做法，我們的傅里葉研究將相當廣泛。
設定周期
為了方便我們后面的學習，在此設定周期為1，后面的學習會遵循該設定，即
$f(t+1) = f(t)$
因此信號模型為$sin(2\pi t)$與$cos(2\pi t)$。
結論
首先引出結論，周期為1的信號，可以由$sin(2\pi t)$或$cos(2\pi t)$組成
一個周期，多個頻率
舉個例子
下圖分別為$sin(2\pi t)$，$sin(4\pi t)$，$sin(6 \pi t)$的圖形
$sin(2\pi t)$的周期是1，頻率是1。
$sin(4\pi t)$的周期是1/2，頻率是2，但是1也可以是它的周期。
$sin(6\pi t)$的周期是1/3，頻率是3，但是1也可以是它的周期。
把他們組合起來(相加)得到$sin(2\pi t)+sin(4 \pi t)+sin(6\pi t)$，圖形如下
這個復雜的圖形的周期還是1，它是由周期為1，頻率不同的sin函數組成的。
上面的例子只是不同頻率的組合，我們還可以改變他們的振幅，相位。這表明我們通過$sin$已經可以組成非常多的信號
$\displaystyle{\sum^n_{k=1}}A_k sin(2\pi kt+\varphi_k)$
注：k=1的項被稱為基波（fundamental wave），k>1的項被稱為諧波（harmonic）
公式推導
對sin進行分解
$sin(2\pi kt + \varphi_k)=sin(2\pi kt)cos\varphi_k+cos(2\pi kt)sin\varphi_k$
因此有
$\begin{align*}
&\quad \sum^n_{k=1}A_ksin(2\pi kt + \varphi_k)\\
&=\sum^n_{k=1}A_ksin(2\pi kt)cos\varphi_k+cos(2\pi kt)sin\varphi_k\\
&=\sum^n_{k=1}(a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt))
\end{align*}$
$a_k,b_k$與相位$\varphi_k$和振幅$A_k$有關。
另外，我們還可以添加一個常量來表示其中不變的部分：
$\frac{a_0}{2}+\displaystyle{\sum^n_{k=1}}(a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt))$
該常量$\frac{a_0}{2}$被稱為直流分量（DC component）。
復指數式
上面的式子還可以推導成復指數的方式
有如下歐拉公式：
$e^{2\pi ikt} = cos(2\pi kt)+isin(2\pi kt), i=\sqrt{-1}$
$cos(2\pi kt) = \frac{e^{2\pi ikt} + e^{-2\pi ikt}}{2}$
$sin(2\pi kt) = \frac{e^{2\pi ikt} - e^{-2\pi ikt}}{2i}$
通過歐拉公式對上述式子進行展開，得
$\begin{align*}
&\quad a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt)\\
&= \frac{a_ke^{2\pi ikt}+a_ke^{-2\pi ikt}}{2}+\frac{b_ke^{2\pi ikt}-b_ke^{-2\pi ikt}}{2i}\\
&= \frac{a_ke^{2\pi ikt}+a_ke^{-2\pi ikt}}{2}+\frac{-b_kie^{2\pi ikt}+b_kie^{-2\pi ikt}}{2}\\
&= \frac{a_k-b_ki}{2}e^{2\pi ikt}+\frac{a_k+b_ki}{2}e^{-2\pi ikt}
\end{align*}$
分成$\frac{a_k-b_ki}{2}e^{2\pi ikt}$與$\frac{a_k+b_ki}{2}e^{-2\pi ikt}$兩部分。按照我們前面的推論，$k$作為調整頻率的系數，是一個正整數，現在如果我們把復指數上的符號移動到$k$上，$k$就稱為了覆蓋正負的整數，那么上面的式子就變成
$\begin{align*}
a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt)
&= \underbrace{\frac{a_k-b_ki}{2}e^{2\pi ikt}+\frac{a_k+b_ki}{2}e^{-2\pi ikt}}_{k>0}\\
&= \underbrace{\frac{a_k-b_ki}{2}e^{2\pi ikt}}_{k>0}+\underbrace{\frac{a_{-k}+b_{-k}i}{2}e^{2\pi ikt}}_{k<0}
\end{align*}$
把$\frac{a_k-b_ki}{2}$和$\frac{a_{-k}+b_{-k}i}{2}$取出來用$C_k$表示，則有，
$C_k=
\begin{cases}
&\frac{a_k-b_ki}{2} \text{ , } k>0 \\
&\frac{a_{-k}+b_{-k}i}{2} \text{ , } k<0
\end{cases}$
即$C_k$為復數且滿足以下條件，
$C_{-k}=\bar{C_k}$
有了上述條件，式子可以寫成
$\begin{align*}
&\quad \sum^n_{k=1}(a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt))\\
&=\sum^n_{k=-n}C_ke^{2\pi ikt}
\end{align*}$
上述推導引出一個結論：對於一個真實的信號（值為實數），當它轉換為上述復數形式時，它的系數對稱存在，即有$k$必然會有$-k$，且$C_k$與$C_{-k}$共軛。反過來，如果系數滿足上述條件，那么此信號也是真實信號。
通用性
我們已經從sin的組合推導到了復指數之和的形式。那么說回來，這種三角函數的組合形式是否可以用到更大的范圍？它是否適用於一般周期函數？
下面，我們假設這個推斷是成立的，三角函數之和適用於一般周期函數，則有，
$f(t)=\displaystyle{\sum^n_{k=-n}}C_ke^{2\pi ikt}$
取出該多項式其中的一項$C_me^{2\pi imt},-n \leqslant m \leqslant n$，
$C_me^{2\pi imt} = f(t)-\displaystyle{\sum^n_{k\neq m}}C_k e^{2\pi ikt}$
等號兩邊同時乘以$e^{-2\pi imt}$，得
$\begin{align*}
& C_m = e^{-2\pi imt}f(t)-\sum^n_{k\neq m}C_k e^{-2\pi imt}e^{2\pi ikt}\\
&\quad \ = e^{-2\pi imt}f(t)-\sum^n_{k\neq m}C_k e^{2\pi i(k-m)t}
\end{align*}$
對等號兩邊同時積分
$\displaystyle{\int_{0}^{1}}C_mdt=C_m$
$\begin{align*}
&\quad \int_{0}^{1}(e^{-2\pi imt}f(t)-\sum^n_{k\neq m}C_k e^{2\pi i(k-m)t})dt \\
&= \int_{0}^{1}e^{-2\pi imt}f(t)dt - \sum^n_{k\neq m}C_k\int_{0}^{1} e^{2\pi i(k-m)t}dt \\
&= \int_{0}^{1}e^{-2\pi imt}f(t)dt - \sum^n_{k\neq m}C_k\left.\frac{1}{2\pi i(k-m)}e^{2\pi i(k-m)t}\right|^1_0 \\
&= \int_{0}^{1}e^{-2\pi imt}f(t)dt - \sum^n_{k\neq m}C_k\frac{1}{2\pi i(k-m)}(e^{2\pi (k-m)t}-e^0) \\
&= \int_{0}^{1}e^{-2\pi imt}f(t)dt - \sum^n_{k\neq m}C_k\frac{1}{2\pi i(k-m)}(cos2\pi(k-m)+isin2\pi(k-m) - 1) \quad spread \ with \ Euler \ Formular \\
&= \int_{0}^{1}e^{-2\pi imt}f(t)dt - \sum^n_{k\neq m}C_k\frac{1}{2\pi i(k-m)}(1+0-1) \quad k \ and \ m \ is \ interger \\
&= \int_{0}^{1}e^{-2\pi imt}f(t)dt
\end{align*}$
即，
$C_m = \displaystyle{\int_{0}^{1}}e^{-2\pi imt}f(t)dt$