[傅里葉變換及其應用學習筆記] 十七. Ш函數


 

Ш函數的三個性質

上節課我們學習了$Ш_p$函數,其定義如下

$Ш_p = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-kp) }$

 
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$Ш_p$函數有以下三個性質,

1) 采樣性質,繼承了$\delta$函數的采樣性質

$f(x)Ш_p(x) = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(kp)\delta(x-kp) }$

 

2) 周期性質,繼承了$\delta$函數的移位性質

$(f*Ш_p)(x) = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(x-kp) }$

 

3) 傅里葉變換

$\mathcal{F}Ш_p = \frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}$

$\mathcal{F}^{-1}Ш_p = \frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}$

 

$Ш_p$函數的這三個性質,是本節課后面推導的基礎。

 
 
 

內插問題

內插問題是我們接下來要解決的問題,我們需要用可靠的方法對離散的測量或采樣值進行內插,通過內插,我們能得到被采樣信號的所有的值。(The problem here is and what we're actually gonna solve in a quite remarkable way is the exact interplation of value of a function from a discrete set of measurement or a discrete set of samples. We'll be able to interpolate all values of a signal or a function from a discrete set of samples.)

假設有一個隨時間變化的過程,以相等的時間間隔(如幾分之一秒)對該過程進行測量,得到一組測量數據$(t_0,y_0),(t_1,y_1),(t_2,y_2)$等等,我們可以把這些數據當成一系列的點

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我們可以用曲線來擬合到采樣數據上(fit a curve to the data),或者根據測量數據在中點進行內插(interpolate values of the process at the intermediate points based on the measurements)。

 
 

曲線擬合與內插

1) 曲線擬合是根據采樣數據得出一個曲線函數,該函數上的值作為原信號的近似值。
2) 內插是通過公式的代入,求出兩采樣點中間點的具體數值。內插不一定是線性的,具體數值要根據內插公式來確定。
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兩者雖然方法不同,但是目的都是為了從有限的采樣點得到原始信號。
 
要求被采樣點以外的點數值,這並沒有固定的方法,需要根據實際情況來選擇合適的方法。當然,更多的測量值,可以提供更高的曲線擬合度或更准確的內插。
 
 

采樣點間的不確定性

內插與擬合的不確定性,從極端來看,可以看作振盪,即函數從一個點到另一個點的變化有多快。函數拐彎越頻繁,曲線擬合或者內插的不確定性越大,我們需要了解、控制(regulate)這種不確定性。

我們對於信號會從時域,頻域兩個方面去分析,而在頻域的傅里葉變換反映了信號的頻率成分,我們能借此分析函數振盪的快慢。傅里葉變換的高頻與快速振盪相關,傅里葉變換的低頻與低速振盪相關。我們要了解信號的振盪速度,就要對其傅里葉變換進行分析。

 

解決這種不確定性的方法是:規定函數允許振盪的最高頻率。如果我們在傅里葉變換后把高頻去掉,則相當於把快速振盪去除。

解決方法可以總結為以下定義:

對於一個有限帶寬的函數f(x),如果它的傅里葉變換在某頻帶以外的值恆為零,就是說傅里葉變換$\mathcal{F}f(s)\equiv 0 \ for \ |s|\geqslant \frac{p}{2}$,最小的$p$值就稱為帶寬。

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對於有限帶寬信號,可以完全解決不確定性問題,即可以根據離散的采樣值得到該信號的函數表達式$f(x)$

推導過程如下:

 

利用$Ш_p$的周期化性質,用$Ш_p$對$\mathcal{F}f(s)$進行周期化

image$\mathcal{F}f * Ш_p$ 

 
 

從周期傅里葉變換恢復為原來的傅里葉變換

image$\mathcal{F}f = \Pi_p(\mathcal{F}f * Ш_p)$

 
 

然后求傅里葉逆變換,得到時域信號

$\begin{align*}
f(t)
&=\mathcal{F}^{-1}(\Pi_p(\mathcal{F}f*Ш_p))\\
&=(\mathcal{F}^{-1}\Pi_p)*(\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f*Ш_p)) \qquad(Fourier\ Convolution\ Theorem)\\
&=(psinc(pt))*((\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f(t))(\mathcal{F}^{-1}Ш_p(t)))\\
&=(psinc(pt))*(f(t)\cdot \frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}(t))\qquad(Fourier\ Transform\ of\ Ш_p)\\
&=(psinc(pt))*(\frac{1}{p}f(t)\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-\frac{k}{p}))\\
&=(psinc(pt))*(\frac{1}{p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})\delta(x-\frac{k}{p})) \qquad(Ш_p\ Sampling\ Property)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})sinc(pt)*\delta(x-\frac{k}{p})\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})sinc(p(t-\frac{k}{p}))\qquad (\delta\ shift\ property)
\end{align*}$

 

因此,對於有限帶寬函數$f(t)$可寫成如下形式,

$f(t) = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})sinc(p(t-\frac{k}{p})) }\quad ,\quad \mathcal{F}f(s)\equiv 0 \ for\ |s|\geqslant\frac{p}{2}$

 

結論是:

  • 對於帶寬為$P$的函數$f(t)$,如果采樣間隔為$\frac{1}{p}$,而且已知所有采樣點$f(\frac{k}{p}) ,k=0,\pm1,\pm2 ...$的值,那么我們就能通過該公式內插得到原本的函數$f(t)$的所有的值。

這叫做采樣定理(sampling theorem),這可以說是整個課程最重要的公式。


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