Ш函數的三個性質
上節課我們學習了$Ш_p$函數，其定義如下
$Ш_p = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-kp) }$
$Ш_p$函數有以下三個性質，
1) 采樣性質，繼承了$\delta$函數的采樣性質
$f(x)Ш_p(x) = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(kp)\delta(x-kp) }$
2) 周期性質，繼承了$\delta$函數的移位性質
$(f*Ш_p)(x) = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(x-kp) }$
3) 傅里葉變換
$\mathcal{F}Ш_p = \frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}$
$\mathcal{F}^{-1}Ш_p = \frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}$
$Ш_p$函數的這三個性質，是本節課后面推導的基礎。
內插問題
內插問題是我們接下來要解決的問題，我們需要用可靠的方法對離散的測量或采樣值進行內插，通過內插，我們能得到被采樣信號的所有的值。（The problem here is and what we're actually gonna solve in a quite remarkable way is the exact interplation of value of a function from a discrete set of measurement or a discrete set of samples. We'll be able to interpolate all values of a signal or a function from a discrete set of samples.）
假設有一個隨時間變化的過程，以相等的時間間隔（如幾分之一秒）對該過程進行測量，得到一組測量數據$(t_0,y_0),(t_1,y_1),(t_2,y_2)$等等，我們可以把這些數據當成一系列的點
我們可以用曲線來擬合到采樣數據上（fit a curve to the data），或者根據測量數據在中點進行內插（interpolate values of the process at the intermediate points based on the measurements）。
曲線擬合與內插
1) 曲線擬合是根據采樣數據得出一個曲線函數，該函數上的值作為原信號的近似值。
2) 內插是通過公式的代入，求出兩采樣點中間點的具體數值。內插不一定是線性的，具體數值要根據內插公式來確定。
兩者雖然方法不同，但是目的都是為了從有限的采樣點得到原始信號。
要求被采樣點以外的點數值，這並沒有固定的方法，需要根據實際情況來選擇合適的方法。當然，更多的測量值，可以提供更高的曲線擬合度或更准確的內插。
采樣點間的不確定性
內插與擬合的不確定性，從極端來看，可以看作振盪，即函數從一個點到另一個點的變化有多快。函數拐彎越頻繁，曲線擬合或者內插的不確定性越大，我們需要了解、控制（regulate）這種不確定性。
我們對於信號會從時域，頻域兩個方面去分析，而在頻域的傅里葉變換反映了信號的頻率成分，我們能借此分析函數振盪的快慢。傅里葉變換的高頻與快速振盪相關，傅里葉變換的低頻與低速振盪相關。我們要了解信號的振盪速度，就要對其傅里葉變換進行分析。
解決這種不確定性的方法是：規定函數允許振盪的最高頻率。如果我們在傅里葉變換后把高頻去掉，則相當於把快速振盪去除。
解決方法可以總結為以下定義：
對於一個有限帶寬的函數f(x)，如果它的傅里葉變換在某頻帶以外的值恆為零，就是說傅里葉變換$\mathcal{F}f(s)\equiv 0 \ for \ |s|\geqslant \frac{p}{2}$，最小的$p$值就稱為帶寬。
對於有限帶寬信號，可以完全解決不確定性問題，即可以根據離散的采樣值得到該信號的函數表達式$f(x)$
推導過程如下：
利用$Ш_p$的周期化性質，用$Ш_p$對$\mathcal{F}f(s)$進行周期化
$\mathcal{F}f * Ш_p$
從周期傅里葉變換恢復為原來的傅里葉變換
$\mathcal{F}f = \Pi_p(\mathcal{F}f * Ш_p)$
然后求傅里葉逆變換，得到時域信號
$\begin{align*}
f(t)
&=\mathcal{F}^{-1}(\Pi_p(\mathcal{F}f*Ш_p))\\
&=(\mathcal{F}^{-1}\Pi_p)*(\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f*Ш_p)) \qquad(Fourier\ Convolution\ Theorem)\\
&=(psinc(pt))*((\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f(t))(\mathcal{F}^{-1}Ш_p(t)))\\
&=(psinc(pt))*(f(t)\cdot \frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}(t))\qquad(Fourier\ Transform\ of\ Ш_p)\\
&=(psinc(pt))*(\frac{1}{p}f(t)\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-\frac{k}{p}))\\
&=(psinc(pt))*(\frac{1}{p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})\delta(x-\frac{k}{p})) \qquad(Ш_p\ Sampling\ Property)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})sinc(pt)*\delta(x-\frac{k}{p})\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})sinc(p(t-\frac{k}{p}))\qquad (\delta\ shift\ property)
\end{align*}$
因此，對於有限帶寬函數$f(t)$可寫成如下形式，
$f(t) = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})sinc(p(t-\frac{k}{p})) }\quad ,\quad \mathcal{F}f(s)\equiv 0 \ for\ |s|\geqslant\frac{p}{2}$
結論是：
- 對於帶寬為$P$的函數$f(t)$，如果采樣間隔為$\frac{1}{p}$，而且已知所有采樣點$f(\frac{k}{p}) ,k=0,\pm1,\pm2 ...$的值，那么我們就能通過該公式內插得到原本的函數$f(t)$的所有的值。
這叫做采樣定理（sampling theorem），這可以說是整個課程最重要的公式。